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1、第10讲曲线积分与曲面积分(一)考纲要求:ò考试内容1．两类曲线积分的概念、性质及计算两类曲线积分的关系,格林（Green）公式.2．平面曲线积分与路径无关的条件已知全微分求原函数.3．两类曲面积分的概念、性质及计算两类曲面积分的关系高斯（Gauss）公式,斯托克斯（Stoke）公式4．散度、旋度的概念及计算曲线积分和曲面积分的应用.ò考试要求1．理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。2．掌握计算两类曲线积分的方法。3．掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。4．了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的
2、关系，掌握计算两类曲面积分的方法，5．用高斯公式、斯托克斯公式计算曲面、曲线积分。6．了解散度与旋度的概念，并会计算。(二)内容提要:1．第一、第二类曲线的定义、背景与性质。é3ò第一类曲线积分：设弧段AB(记作L)是R中的一条逐段光滑的曲线,函数f(x,y,z)定义在L上.把L任意地分成n个子弧段,PPè,i=1,2,?,n,P=A,P=B,每一段子弧段的弧长分别i−1i0n为Δl,在每一子弧段上分别任取一点Q(ξ,η,ς),作Riemann和iiiiin∑f(ξi,ηi,ςi)Δli,记λ=max{}Δl1,Δl2,?,Δln.如果当λ→0i=1时,上述Riem
3、ann和的极限存在,且该极限值与子弧段的分法和点的谭泽光1é取法无关,则称该极限为函数f(x,y,z)在曲线AB(L)上的第一类曲线积分,记作n∫∫ãf(,,)xyzdl==fxyzdl(,,)lim∑f(,,)ξηςiiiiΔlABLλ→0i=1f(x,y,z)为被积函数,éAB(L)为积分路径,dl为弧微分,dl>0.ò第二类曲线积分:向量函数dFxyz(,,)((,,),(,,),(,,))=XxyzYxyzZxyz3é定义在空间区域Ω⊂R中的一条逐段光滑的有向弧段AB(记作L)dd∩上.L的方程为rrtxtytzt=()((),(),())=.把有向弧段AB
4、从Aè到B任意地分成n个子有向弧段,PP,i=1,2,?,n,i−1idggggghP=A,P=B,记Δ=lPPxyz=ΔΔΔ(,,).在每一段子有向0niii−1iii弧段上分别任取一点Q(ξ,η,ς)(参数为t),作Riemann和iiiiinddddd∑F(,,)ξηςiii⋅Δli再记λ=Δmax{ll12,ΔΔ,?,ln}.i=1如果当λ→0时,上述Riemann和的极限存在,且该极限值与子弧段d的分法和点的取法无关,则称该极限为函数F(,,)xyz在有向曲线∩AB(L)上从A到B的第二类曲线积分,记作BBdd∫∫F(,,)xyzdl⋅=XxyzdxYxy
5、zdyZxyzdz(,,)+(,,)+(,,)LA()LA()n=Δlim∑[]X(,,)ξηςiiiixY+(,,)ξηςiiiiΔyZ+(,,)ξηςiiiiΔzλ→0i=1d∩函数F(,,)xyz为被积函数,有向曲线AB(L)为有向积分路径,ddl为有向弧微分:d在空间:dl=(,,)dxdydz;d在平面上,dl=(,)dxdy.谭泽光22．两类曲线积分之间的关系d∫((,,),(,,),(,,))XxyzYxyzZxyzdl⋅=+Ld=⋅∫()((,,),(,,),(,,))XxyzYxyzZxyzτ0dlL3．第二类曲线的几种表达式∫X(,,)xyzdx
6、YxyzdyZxyzdz++(,,)(,,)+Ld=⋅∫((,,),(,,),(,,))XxyzYxyzZxyzdl+Ld=⋅∫()((,,),(,,),(,,))XxyzYxyzZxyzτ0dlL4．第一类曲线积分的计算⎧x=x(t)⎪设曲线L的参数方程为⎨y=y(t)t∈[]α,β⎪⎩z=z(t)又设f(x,y,z)在曲线L上连续,则弧长微分[][][]222dl=x′(t)+y′(t)+z′(t)dt,第一类曲线积分可按下式计算：β∫∫[][][]222f(x,y,z)dl=f(x(t),y(t),z(t))x′(t)+y′(t)+z′(t)dtLα平面曲线积
7、分计算，弧长微分的三种表式：2òLyyx:(=)时,dl=1+[]y′dxx⎧x=xt()22òL:⎨时,dl=[][]x′(t)+y′(t)dt，⎩y=yt()22òL:(ρ=ρϕ)时,dl=[][]ρ(ϕ)+ρ′(ϕ)dϕ5．第二类曲线积分的计算ddT若L的方程为rrtxtytzt==()((),(),()),起始点A与终止点B对dddd应的参数分别为t=α与t=β,弧微分向量dl=++dxidyjdzj向量值函数ddddFxyz(,,)=++XxyziYxyzjZxyzj(,,)(,,)(,,),谭泽光3在区域Ω(L⊂Ω)内连续,则第二类曲线积分ddB∫∫
