水木艾迪考研数学讲义09

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1、第9讲二重积分，三重积分(一)考纲要求:ò考试内容1．二重积分的概念及性质二重积分的计算和应用2．三重积分的概念及性质三重积分的计算和应用ò考试要求1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。2．掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。3．理解三重积分的概念，了解重积分的性质。4．会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。(二)内容提要:二重积分部分1概念：ò定义与符号：积分和式的极限,n2设f:D⊂R→R,I=lim∑f(Pi)Δσi=∫∫f(x,y)dσλ→0i=1Dò性质：被积函数有界性；可积性；对区域的可加性；运算的单调性；估值

2、与中值定理等。(1)计算：ò在直角坐标系下的计算by2()xdx2(y)∫∫f()x,ydσ=∫dx∫f()x,ydy=∫dy∫f()x,ydxDay1()xcx1()yddσ=xdyò坐标平移⎧uxa=−⎨，dσ==dxdydudv⎩vyb=−∫∫f()x,ydσ==+∫∫f()uavbdudv,+DuvD谭泽光1ò在极坐标系下的计算βρ2()ϕ∫∫f()x,ydσ=∫dϕ∫f()ρcosϕ,ρsinϕρdρDαρ1()ϕddσ=ρϕρd(2)方法、技巧：ò化简：利用域和函数的对称性或几何、对区域可加性化简ò坐标系的选择；ò积分次序的确定；(三)典型例题:二重积分典型例题22

3、例1（117）设f(x,y)为连续函数，f(−x,y)=f(x,y),D:x+y≤1，则下列结论正确的是______.(A)∫∫fxyd(,)σ=0；(B)∫∫f(,)xydσ=2∫∫fxyd(,)σ；DDxy22+≤1y≥0(C)∫∫f(,)xydσ=2∫∫fxyd(,)σ；Dxy22+≤1x≥0(D)∫∫f(,)xydσ=4∫∫fxyd(,)σ.Dxy22+≤1xy≥≥0,0【解】答案为(C).依题意，f(x,y)关于x为偶函数，区域D关于y轴对称，由二重积分对称性可知选项(C)正确，下面举例说明其选项不对.(A)取f(x,y)=1，则∫∫fxyd(,)σπ=≠0.D(B)

4、取f(x,y)=y，则∫∫fxyd(,)σ=0(因为D关于x轴对称，Df(x,y)=y关于y为奇函数，而211−x1422(∫∫fxyd,)2σ=∫−−10dx∫ydy=−=∫1(1xdx).223xy+≤1xy≥≥0,0谭泽光2(D)取f(x,y)=y，则∫∫fxyd(,)σσ=∫∫yd=0，DD211−x1424(∫∫fxyd,)4σσ=∫∫yd==4∫00dx∫ydy2∫0(1−xdx)=22223xy+≤11xy+≤xy≥≥0,0xy≥≥0,0【注】本题考察二重积分的对称性，结论如下：(1)设区域D关于x轴对称，D中位于x轴上、下方的部分分别记为DD,，则当f(x,y)

5、关于y为奇函数时fxyd(,)σ=0；12∫∫D当f(x,y)关于y为偶函数时∫∫f(,)xydfσ==2∫∫(,)xydfσσ2∫∫(,).xydDDD12(2)设区域D关于y轴对称，D中位于y轴左、右方的部份分别记为DD,，则当f(x,y)关于x为奇函数时fxyd(,)σ=0；lr∫∫D当f(x,y)关于x为偶函数时∫∫f(,)xydfσ==2∫∫(,)xydfσσ2∫∫(,)xyd.DDDrl2223例2设积分区域D:x+y≤r,则∫∫(x+siny+1)dxdy=()D2答案:πr积分区域的对称性与被积函数的奇偶性）。3例3,f(t)为连续函数,D是由y=x,y=1,x

6、=−122围成的区域,则∫∫xy⋅f(x+y)dxdy=0.D10.750.50.25-1-0.50.51-0.25-0.5-0.75-1答案:0例4设D是平面上以(1,1),(−1,1),(−1,−1)三点为顶点的三角形区域.D为其在第一象限的部分,则(xy+cosxsiny)dxdy=().1∫∫D(A)2∫∫cosxsinydxdy;(B)2∫∫xydxdy;D1D1谭泽光3(C)4∫∫(xy+cosxsiny)dxdy;(D)0D1D2D1′D10xD′2答案(A).23例5（118）若I=+()xydσ，I=+()xydσ，1∫∫2∫∫DD22Dxyxy:0+−−≤，

7、则下列结论中正确的是______.(A)II；(D)无法比较I,I的大小.12121212y1xy+=1/2x+y=101x11221【解】直线x+=y1将圆域()()xy−+−≤分成:222Dx1=+{(,):yxyD≤1}∪,D2=+{(,):xyxy≥1}∪D两部分.32考察I−=Ix()()()+−+yxydσ,记uxy=+,则21∫∫D222I−=Iuu(1−)dσ=−+−uu(1)duuσ(1)dσ.21∫∫∫∫∫∫DDD1222⎛⎞⎛22⎞4uu(