水木艾迪2010年考研数学辅导班- 线性代数讲义-第3章矩阵的初等.pdf

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1、2008基础班线性代数第３章矩阵的初等变换与矩阵的秩3—1第3章矩阵的初等变换与矩阵的秩３．１矩阵的初等变换矩阵的初等行（列）变换：（１）交换第i行（列）和第j行（列）；（２）用一个非零常数乘矩阵某一行（列）的每个元素；（３）把矩阵某一行（列）的元素的k倍加到另一行（列）．对矩阵施行初等变换时，由于矩阵中的元素已经改变，变换后的矩阵和变换前的矩阵已经不相等，所以在表达上不能用等号，而要用箭号＂→＂．⎛012⎞⎜⎟例1求矩阵A=⎜11−1⎟的逆矩阵．⎜⎟⎝240⎠３．２初等矩阵单位矩阵作一次初等变换得到的矩阵叫初等矩阵．概括起来，初等矩阵有３类，分别是（１）交

2、换第i行和第j行（交换第i列和第j列）2008基础班线性代数第３章矩阵的初等变换与矩阵的秩3—2⎛1⎞⎜⎟⎜B⎟⎜1⎟⎜⎟⎜0???1⎟⎜⎟@1@⎜⎟E(i.j)=⎜@B@⎟⎜⎟@1@⎜⎟⎜1???0⎟⎜⎟1⎜⎟⎜B⎟⎜⎟⎝1⎠（２）用常数λ乘第i行（λ乘第i列）⎛1⎞⎜⎟⎜B⎟⎜1⎟⎜⎟E(i(λ))=⎜λ⎟⎜⎟1⎜⎟⎜B⎟⎜⎟⎝1⎠（３）第i行的k倍加到第j行（第j列的k倍加到第i列）2008基础班线性代数第３章矩阵的初等变换与矩阵的秩3—3⎛1⎞⎜⎟⎜B⎟⎜1⎟⎜⎟E(ij(k))=⎜@B⎟⎜⎟k?1⎜⎟⎜B⎟⎜⎟⎝1⎠显然，初等矩阵都可逆，其逆矩阵仍

3、是初等矩阵，且有−1E(i,j)=E(i,j)；−1⎛⎛1⎞⎞E(i(λ))=E⎜i⎜⎟⎟；⎝⎝λ⎠⎠−1E(ij(k))=E(ij(−k))．初等矩阵与初等变换有着密切的关系：左乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初等矩阵相应类型一样的初等行变换．例如要将矩阵A的第１行和第３行交换，则左乘一个初等矩阵E(1,3)：⎛001⎞⎛a11a12a13⎞⎛a31a32a33⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜010⎟⎜a21a22a23⎟＝⎜a21a22a23⎟．⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝100⎠⎝a31a32a33⎠⎝a11a12a13⎠右乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初等矩2008基础

4、班线性代数第３章矩阵的初等变换与矩阵的秩3—4阵相应类型一样的初等列变换．⎛a11a12a13⎞⎜⎟例2设A=⎜a21a22a23⎟，⎜⎟⎝a31a32a33⎠⎛a21a22a23⎞⎜⎟B=⎜a31a32a33⎟，⎜⎟⎝a11−a21a12−a22a13−a23⎠⎛1−10⎞⎛001⎞⎜⎟⎜⎟E1=⎜010⎟，E2=⎜010⎟，⎜⎟⎜⎟⎝001⎠⎝100⎠⎛010⎞⎜⎟E3=⎜100⎟．⎜⎟⎝001⎠则以下选项中正确的是(A)EEEA=B；123(B)AEEE=B；123(C)EEEA=B；321(D)AEEE=B．321例３设A是３阶可逆矩阵，将A的第１行

5、和第３行对换后得到的矩阵记作B．（１）证明B可逆；−1（２）求AB．2008基础班线性代数第３章矩阵的初等变换与矩阵的秩3—5⎛123⎞⎛101⎞⎜⎟⎜⎟例4设A=⎜134⎟，B=⎜011⎟，是否存⎜⎟⎜⎟⎝−110⎠⎝000⎠在可逆矩阵P，使得PA=B？若存在，求P；若不存在，说明理由．例5设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B，再把B的第2列加到第3列得C，则满足AQ=C的可逆矩阵Q为⎛010⎞⎛010⎞⎜⎟⎜⎟(A)⎜100⎟(B)⎜101⎟⎜⎟⎜⎟⎝101⎠⎝001⎠⎛010⎞⎛011⎞⎜⎟⎜⎟(C)⎜100⎟(D)⎜100⎟⎜⎟⎜⎟⎝011⎠

6、⎝001⎠３．３矩阵的等价与等价标准形若矩阵B可以由矩阵A经过一系列初等变换得到，则称矩阵A和B等价．矩阵的等价是同型矩阵之间的一种关系，它具有如下性质：（１）反身性：任何矩阵和自己等价；（２）对称性：若矩阵A和矩阵B等价，则矩阵B和2008基础班线性代数第３章矩阵的初等变换与矩阵的秩3—6矩阵A也等价；（３）传递性：若矩阵A和矩阵B等价，矩阵B和矩阵C等价，则矩阵A和矩阵C等价．⎛Er0⎞形如⎜⎟的矩阵称为矩阵的等价标准形．⎝00⎠⎛Er0⎞任意矩阵A都与一个等价标准形⎜⎟等⎝00⎠价．其中E是r阶单位矩阵．这个r是一个不变量，r它就是矩阵的秩．任何矩阵总

7、存在一系列的初等矩阵P,P,?,P，和初等矩阵Q,Q,?,Q使得12s12t⎛Er0⎞PP?PAQQ?Q＝⎜⎟．ss−1112t⎝00⎠令P＝PP?P，Q＝QQ?Q，于是ss−1112t对任意m×n的矩阵A，总存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得⎛Er0⎞PAQ＝⎜⎟．⎝00⎠2008基础班线性代数第３章矩阵的初等变换与矩阵的秩3—7例6设n阶矩阵A与B等价，则必有(A)当A=a(a≠0)时，B=a．(B)当A=a(a≠0)时，B=−a．(C)当A≠0时，B=0．(D)当A=0时，B=0．３．4矩阵的秩在m×n矩阵A中，任取k行k列，位于这k行k2列交叉

8、处的k个元素按其原来的次序组成一个k阶行列式，称为矩