资源描述：
《水木艾迪2010年考研数学辅导班- 线性代数讲义-第4章向量组的线.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2008春季班线性代数第４章向量组的线性相关性4—1第4章向量组的线性相关性4．1向量的线性组合与线性表示由n个实数a,a,?,a组成的有序数组称12n为n维向量，记作⎛a1⎞⎜⎟⎜a2⎟α=，⎜@⎟⎜⎟⎜⎟⎝an⎠其中a称为向量α的第i个分量．这个向量是一i个列向量．行向量记作T()α=a,a,?,a．12n分量全为０的向量称为零向量，T记作0=()0，0，?，0．T两个n维向量α=(a,a,?,a)，12n(Tβ=b,b,?,b)，若它们的对应分量全相等，12n即a=b，i=1,2,?,n则称向量α和β相等，ii记作α=β．T设两个n维向量α=(a,a,?,a)，12n()Tβ=b,b,?
2、,b，定义12n2008春季班线性代数第４章向量组的线性相关性4—2()Tα+β=a+b,a+b,?,a+b，1122nn称为向量α与β的和．T设α=(a,a,?,a)，12nT称−α=(−a,−a,?,−a)为向量α的负向量．12n于是定义向量的减法：α−β=α+（−β）．T设α=(a,a,?,a)，k是实数，定义12n()Tkα=ka,ka,?,ka，12n称为数k与向量α的数量乘法，简称数乘．对任意n维向量α，β，γ及任意实数k,l，向量的加法及数量乘法满足以下８个性质：（１）α+β=β+α；（２）()α+β+γ=α+(β+γ)；（３）α+0=α；（４）α+（−α）=0；（５）1⋅α=α
3、；（６）k(lα)=(kl)α；（７）k(α+β)=kα+kβ；（８）(k+l)α=kα+lα．2008春季班线性代数第４章向量组的线性相关性4—3设α,α,?,α是n维向量，12sk,k,?,k是数，则12skα+kα+?+kα1122ss称为向量α,α,?,α的一个线性组合．12s若β=kα+kα+?+kα，称β1122ss可由α,α,?,α线性表示或线性表出．12sTT例1设α=()1,2,3，α=(0,1,4)，12()TTα=2,3,6，β=(−1,1,5)，试用3α,α,α线性表示β．123T例２设α=()1,4,0,2，1()Tα=2,7,1,3，2()Tα=0,1,−1,2，3
4、(Tβ=3,10,a,4)．a取何值时，β可由α,α,α线性表示？写出表示式．123４．2向量组的线性相关与线性无关设α,α,?,α是n维向量，若存在不全为12s零的数k,k,?,k，使得12skα+kα+?+kα=01122ss成立，则称向量组α,α,?,α线性相关．否则12s2008春季班线性代数第４章向量组的线性相关性4—4称为线性无关．只有一个向量的向量组{α}，如果α=0，则向量组是线性相关的；如果α≠0，则向量组是线性无关的．一个不少于２个向量的向量组若线性相关，则必定有一个向量可以由这个向量组中的其余向量线性表示．反之，若一个向量组中，有一个向量可以由其余向量线性表示，那么这个向
5、量组是线性相关的．这个命题的等价命题就是：向量组线性无关的充分必要条件是向量组中任意向量都不能由其余向量线性表示．按定义，向量组α,α,?,α线性无关当且12s仅当向量方程kα+kα+?+kα=01122ss只有零解．将向量α,α,?,α按列排成一个矩阵，12s记作A，即A＝（α,α,?,α），则向量组12sα,α,?,α线性相关的充分必要条件是齐次12s线性方程组Ax=0有非零解．2008春季班线性代数第４章向量组的线性相关性4—5向量个数大于向量维数时向量组线性相关，任何n+1个n维向量线性相关．n个n维向量α,α,?,α线性相关的充分12n必要条件是由向量排成的行列式等于０．即α,α,?
6、,α＝０．12n向量组的线性相关性的定理很多，其中最重要的是这几个：（１）若α,α,?,α线性无关，而12sα,α,?,α,β线性相关,则β可由12sα,α,?,α线性表出，且表示法惟一．12s（２）若α,α,?,α可由β,β,?,β线性12s12t表出，且s>t，则α,α,?,α线性相关．12s（３）若α,α,?,α线性无关且可由12sβ,β,?,β线性表出，则s≤t．12t以下这些性质也是很有用的：（１）包含零向量的向量组必线性相关．（２）一个向量组中如果有部分向量线性相关，则整个向量组线性相关．（３）一个线性无关的向量组其中任何部分向量组都线性无关．（４）一个线性相关的向量组，如果每一个
7、向量都删去同一序号的分量，得到一个维数较低的2008春季班线性代数第４章向量组的线性相关性4—6向量组，则新的向量组也线性相关．（５）一个线性无关的向量组，如果每一个向量在同一位置增加分量，得到维数更高的向量组，则新向量组也线性无关．例３向量组α,α,?,α线性无关的充分条件是12s(A)α,α,?,α都不是零向量；12s(B)α,α,?,α除去向量组本身的任意部分12s向量组都线性无关；(C)向
