2014武忠祥高数基础班讲义(人信)

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1、2016年考研高等数学基础班讲义第一章函数极限连续一、函数1函数的概念（定义域，对应法则，值域）2函数的性态：单调性奇偶性周期性有界性有界性：定义：若>0,使得Vxw，恒有

2、/（x）

3、

4、合函数；【例1】f（x）=

5、xsinx

6、ecosx（-«>0；*-x,x>0【解】g[/«]=二、极限1极限的概念1）数列极限：liman=A：Vf>0,BN>0,当刃>"时，an-A0,3X>0,当

7、x

8、>X时，恒有XT8类

9、似的定义limf(x)=A,limf(x)=Aox—>+<»limf(x)=AOlimf(兀)=limf(x)=A片T8・・(2)limf(x)=A：V£>0,35>0,30<

10、x-x0

11、<^时,恒有XT"左极限:limf(x)=/(坊)(或/(x0-0))XT"右极I®：lim/(x)=/«)(或/(兀o+0))XTX(jlim/(兀)=Alimf(x)=limf(x)=AXT%XT.%XTX；~71+x2X儿个值得注意的极限：limex,limarctan—xtOxtOylimex,limarctanx,limXT8XT8XT82极限的性质1)局部有界性

12、若lim/(x)存在，则/任)在X。某去心邻域有界。XTX。2)保号性设lim/(x)=AXTX。(1)如果A>0,则存在6>0,当xwU{x^3)吋,/(兀)>0.(2)如果当xwU(兀°,5)时,/(x)»0,那么A>0.3)有理运算性质若lim/(x)=A,limg(x)=B.那么:lim[/(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±Blimlim[/(x)g⑴]=lim/(x)limg(x)=A・B心)两个常用的结论：1)lim/®存在,limg(兀)=0=>limf(兀)=0;g(x)2)lim二/工0,limf(x)=0=>limg

13、(x)-0;g(Q4)极限值与无穷小Z间的关系；limf(x)=Nof(x)=/+a(x).其中lima(x)=0.注：数列极限也有以上对应的四条性质。3极限的存在准则1)夹逼准则：若存在N,当n>N时，兀W儿

14、5无穷小量1)无穷小量的概念:若lim/(x)=0,则称/(X)为兀TX。时的无穷小量.XT%2)无穷小的比较:设lima(x)=0,hmfi(x)=0,且0(x)工0.(1)咼阶:若lim()=0；记为a(x)=o(0(x));0(x)(2)同阶：若lim纟①二CHO；0(兀)(3)等价：若lim兽=1；记为a(x)〜0(x);0(x)(4)无穷小的阶:若limWchO,称a⑴是0(兀)的k阶无穷小.[0(训1)常用的等价无穷小：当XT0吋，x〜sinx〜tanx〜arcsinx〜arctanx〜ln(l+兀)〜ex—1;1-cosx—x2,(1+x)"-

15、1〜血，ax-1〜xlna,,22)等价无穷小代换若a〜厉,/?〜贝ijlim一=lim=003)无穷小的性质:(1)冇限个无穷小的和仍是无穷小.(2)有限个无穷小的积仍是无穷小.(3)无穷小量与有界量的积仍是无穷小.6无穷人量1)无穷大量的概念:若lim/(x)=oo,称/(x)为xTx。时的无穷大量;XT%2)常用的一•些无穷大量的比较(1)当XT4-oo时In"x«xp«ax其中a>0,0>0,a>1.(2)当A7T8时In"n«nfi«a,J«n«nn其中a>0,0>0,a>1.3)无穷人量与无界变量的关系：无穷人量=>无界变量4)无穷大量与无穷小

16、量的关系：在同一极限过程中，如果/'(x)是无穷大，