2017尚学考研数学高数基础班辅导讲义 主编：武忠祥

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1、中国考研高端辅导首选品牌2017考研数学高数基础班武忠祥教授(2016年4月)第一部分考研数学高分导学以下讲两个常考的专题，求极限和平面域的面积及旋转体的体积.专题一：求极限000求极限常见的是七种类型不定式，即，，0，，1，，0，其重00点是“”型和“1”型.001.“”型极限0常用的方法有三种1）洛必达法则：若1）limf(x)limg(x)0;xx0xx02）f(x)和g(x)在x的某去心邻域内可导，且g(x)0;0f(x)3）lim存在（或）；xx0g

2、(x)f(x)f(x)则limlim.xx0g(x)xx0g(x)2）等价无穷小代换（1）代换原则：a)乘除关系可以换；b)加减关系在一定条件下可以换；1若~,~,且limA1.则~.11111（2）常用的等价无穷小：当x0时xx~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1x)~e1;1中国考研高端辅导首选品牌12x(1x)1~x,1cosx~x，a1~xlna,2131312xsinx~xtanxx~xxln(1x)

3、~x6321313arcsinxx~xxarctanx~x633）泰勒公式2nxxxn(1)e1xo(x)2!n!32n1xn1x2n1(2)sinxx(1)o(x)3!(2n1)!22nxnx2n(3)cosx1(1)o(x)2!(2n)!2nxn1xn(4)ln(1x)x(1)o(x)2n【例1】（2008年，数一、数二，10分）sinxsinsinxsinx1求极限lim.【】4x0x6【例2】（2008年

4、，数三，10分）1sinx1求极限limln.【】2x0xx62中国考研高端辅导首选品牌【例3】（2012年，数三，10分）2x22cosxee1求极限lim.【】4x0x12【例4】（2009年，数一，数二，数三，4分）2当x0时，f(x)xsinax与g(x)xln(1bx)是等价无穷小，则（）11（A）a1,b.（B）a1,b.6611（C）a1,b.（D）a1,b.66【例5】（2011年，数二，数三，4分）k已知当x0时，函数f(x)3sin

5、xsin3x与cx是等价无穷小，则（A）k1,c4.（B）k1,c4.（C）k3,c4.（D）k3,c4.3中国考研高端辅导首选品牌【例6】(2013年，数一，4分)xarctanx已知极限limc,其中k,c为常数，且c0,则kx0x11（A）k2,c.（B）k2,c.2211（C）k3,c.（D）k3,c.3323【例7】（2014年，数三，4分）设p(x)abxcxdx.当x0时,若3p(x)tanx是比x高阶的无穷小，则下列结论中

6、错误的是1（A）a0（B）b1（C）c0（D）d62.“1”型极限常用的方法有三种11）凑基本极限lim(1x)xe;x0g(x)g(x)lnf(x)2）改写成指数lim[f(x)]lime，用洛必达法则；3）若lim(x)0，lim(x)，且lim(x)(x)A.(x)A则lim[1(x)]e.【例1】(2010年，数一，4分)x2x极限limx(xa)(xb)4中国考研高端辅导首选品牌abba(A)1.(B)e.(C)e.(

7、D)e.【例2】(2012年，数三，4分)1lim(tanx)cosxsinx.【e2】x4【例3】(2011年，数一，10分)11ln(1x)ex1求极限lim.【e2】x0x5中国考研高端辅导首选品牌【例4】(2013年，数二，4分)11ln(1x)xlim2_________.【e2】x0x专题二：平面域的面积及旋转体的体积1.平面图形的面积（1）若平面域D由曲线yf(x),yg(x)(f(x)g(x))，xa，xb（ab）所围成，

8、则的bS[f(x)g(x)]dxa（2）若平面域D由曲线曲()，,()所围成，则其面积为12S()d.22.旋转体体积设区域D由曲线yf(x)(f(x)0)，和直线xa，xb(0ab)及x轴所围成，则1）区域D绕x轴旋转一周所得到的旋转体积为b2Vf(x)dxxa2）区域D绕y轴旋转一周所得到的旋转体积为bV2xf(x)dxya【例1】（2014年，数三，4分）设D是由曲线xy10与直线yx