第30题导数应用常见误区分析-2018原创精品之高中数学（文）黄金100题系列（原卷版）

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1、精彩解读【试题来源】人教版A版选修1・1P86习题3・2B组Ti・【母题评析】本考考察如何求曲线上一点处切线的方程.【思路方法】掌握基本函数的求导及导数几何意义的应用.【试题來源】人教版A版选修1-1P99习题3.3B组.【母题评析】不等式证明是高中数中常见的一类典型问题，本题考查了如何通过构造函数结合函数的单调性去证明不等式.【思路方法】不等式证明常用的基本方法有:综合法、比较法（作差法、作商法）、分析法，本题之后又添一法一一构造函数法,要注意所构造函数的定义域.第30题导数应用常见误区分析I.题源探究・黄金母题【例1］设函数f(x)=-ex的图象与

2、x轴相交于点P,求曲线在点P处的切线方程.【解析】当y=0时，x=0.所以函数图象与x轴交于点p(o,o)./=-^,所以yx=Q=-l・所以曲线在点P处的切线的方程为>'=一兀•【例2】利用函数的单调性，证明下列不等式：(1)sinxvx，兀丘(0,龙)；(2)兀一兀2>0，xg(0,1):(3)ex>x+l,x/0；(4)x0；【解析】(1)证明：^/(x)=sinx-x,xg(0,^)・•/fx)=cosx-1<0,xe(0,兀),/(x)=sinx-x在(0,龙)内单调递减，因此/(兀)=sinx-x

3、0,龙)，即sinx0,于(兀)单调递增，f(x)=x-x2>f(0)=0；当xe(-,l)时，/(x)=l-2x<0,/(x)单调递减，f(x)=x-x2>/(1)=0；X/(—)=->0.因此，x-x2>0,xw(0,1).(3)证明：设f(x)=ex--xf兀工0・•/fx)-ex-1,x工0,・••当x>0时,fx)=£”一1>°,f(x)单调递增，/(x)=ev-l-x>/(0)=

4、0；当xvO时，fx)=ex-

5、(兀)单调递减，/(兀)二"一1一兀>/(0)=0.综上：exx,20.(4)证明：设/(x)=lnx-x,x>0.*.*=—-1,xHO,x・・・当Ovxvl时,fx)=丄一1>0,f{x)单调递增,Xf(x)=lnx-xl时，/z(x)=—-1<0,/(%)x单调递减，f(x)=x-x兀+1>尤，x>0.综上：lnx0.【例3】(I)求函数/(兀)=*/一4兀+4的极值；(II)求函数/(x)=1x3-4x+4在［0

6、,3］上的最大值与最小值.【答案】⑴当x=—2吋，/(兀)有极大值，并且极大值为/(-2)=—；4当x=2时，/(兀)有极小值，并且极小值为/(2)=—；(II)函数-4x+4在［0,3］上的最大值是4,最小值是-中・【解析】(I)v/(x)=-x3-4x+4,/./(x)=x2-4=(x4-2)(x-2).令厂(兀)=0,解得兀二一2或x=2・下面分两种情况讨论：(1)当r(x)>0,即%<-2,或兀>2时;(2)当/(x)<0,即一2

7、单调递增口1值；如果左负右正，那么/(x)在这个根处取得极小值.二、求函数y=/(x)在［。，切上的最大值与最小值的一般步骤:(1)求函数y=f(x)在(Q,b)内的极值；(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值/•(d),比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【母题评析】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系:若导函数图象与兀轴的交点为兀0,且图象在x0两侧附近连续分布于％轴上下方，则兀。为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数fx)的正负，得出原函数/(兀)的单调区间.【思路方法】本题意在让学生将导数与曲线

8、的切线斜率相联系,同时培养学生的数形结合思想.【难点中心】1.将导数的几何意义与