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《zt14专题十四 构造法在数学分析中的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、专题十四构造法在数学分析中的应用构造法是一种极富技巧性和创造性的解题方法，体现了数学中发现、类比、化归的思想，也渗透着猜想、探索、特殊化等重要的数学方法。运用构造法解数学题可从中欣赏数学之美，感受解题乐趣，更重要的是可开拓思维空间，启迪智慧，并对培养多元化思维和创新精神大有裨益.问题1：什么是构造法呢?答：构造一个辅助问题,通过这个辅助问题的认识或解决,达到对原问题的认识或解决的方法就称为构造法.问题2：构造法有固定的模式吗?其基本的方法是怎样的？答：构造法的内涵十分丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特
2、殊性为基础，针对具体的问题的特点而采取相应的解决办法，其基本的方法是：借用一类问题的性质，来研究另一类问题的思维方法。在解题过程中，若按习惯定势思维去探求解题途径比较困难时，可以启发学生根据题目特点，展开丰富的联想拓宽自己思维范围，运用构造法来解题也是培养学生创造意识和创新思维的手段之一，同时对提高学生的解题能力也有所帮助，下面我们通过举例来说明通过构造法解题训练学生发散思维，谋求最佳的解题途径，达到思想的创新.数学分析中有着大量的应用构造法解决的问题,在数学分析的定义、定理和习题中随处可见,存在性命题的出现,例如:在证明命题定理时,可
3、以构造一个辅助函数;在求不定积分时,常常要凑微分,也就是构造新函数;在极限求法中可以构造级数,构造定积分;在证明极限不存在的某些问题,可以构造数列;在求函数Z=在条件=0下的条件极值,可构造L氏函数L=+;在计算某些线积分时,可以构造闭围道,化为二重积分或曲面积分等等.数学分析,从极限到微积分,到无穷级数的理论,不论是概念的引入,形成或是基本理论的研究,可以说处处贯穿着构造的思想.事实上,例如:1、作为分析基础,实数理论的建立,按照康托尔的观点,构造了有理数列;按戴德金的观点,构造了有理数集的分割.2、在极限论中,则采用了构造区间套的方
4、法.3、如果﹙x﹚在有定义,我们构造了极限式:,进而创造了定积分的理论.4、对于级数我们构造了序列｛13｝定义了级数的敛散性,进而建立了无穷级数理论.可见，在数学分析中，构造的策略．方法比起初等数学中常用的构造策略．更为灵活、广泛.问题3：构造法在数学分析理论研究中有哪些方面的应用？答：构造法在数学分析中几乎在所有的方面都有应用，主要体现在：（1）在极限论中的应用；（2）在微分学中的应用；（3）在计算积分中的运用；（4）在级数中运用。问题4：举例说明构造法在极限论中是如何应用的？答：下面举例说明：例1、证明：若，且有：---（1），则收
5、敛.证明：为了证明收敛，只要证明.（2）为此，我们设法构造序列，使从（1）式可推出（2）式.首先，在中有子列，使得.如此，做作序列如下：=，这时，，且，因此，故（1）式成为，可得，从而收敛，得证.例2、求.解：首先把上式变形得，，要想求极限只须构造积分得，==.例3菲波拉奇数列（）设，求.分析：假设极限存在，值为，则，即因＞0，负数不合题意，故=.我们来研究的分布情况：13若＜，则＞；若＞，则＜，即在的左右来回跳动，而=1＞，故知＞；＜若收敛于，则，亦然，因此我们猜想：是否在左端↗，在右端↘？为此我们来考察的符号：现在我们构造函数：.而
6、函数的两根为，故=，可得，↗以为上界，↘以为下界，因此两个子列，记，在及里取极限得：.由此得，既然，有相同的极限，知.例4设＞0，且，证明：数列中存在一个子序列是收敛的子序列.证明：（1）若有界，设，将二等分，得区间，则其中至少有一个区间包含中无穷多项，将它记为再将二等分，又可得区间，且包含13中无穷多项，这样继续下去，可得一串区间：其中每个都包含数列中无穷多项，但，再由区间套原理具有唯一的公共点，即有，然后在，中各取中一项，则：，而，∴.（2）若无界，则中必有有界的子数列（否则，与假设矛盾），则（1）得证.问题5：举例说明构造法在微分
7、学中是如何应用的？答：在微分学中的应用，最普遍的就是证明拉格朗日中值定理，首先（1）拉格朗日中值定理:若函数满足如下条件,（i）在区间连续,(ii)在区间可导,则在内至少存在一点,使得()=.例5如果()在上连续,则在上必存在，且,使得.证：作辅助函数：()[(-)]-()-()(c).显然,它在[,]上连续.()[()()],()(()())().如果()0,则设=,=；如果()=0,则设=,=；如果()=()=0,则上两种情况中取其一确定,；如果()≠0，()≠0，则()+()=0，()()<0.13由连续函数的介值定理,在(,)内
8、至少存在一点,使得()=0,此时,设=,=.以上这些情况下皆有.例6如果（）在内可导，数列、满足条件：＜＜，当时，，，则.下面我们利用以上两个例题5、6来证明拉格朗日中值定理：重复运用例题5的结论，得到的子
