1.5.2二项式系数的性质及应用 (2)

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1、基于数学抽象视角下的高三“二轮”微专题设计——以组合恒等式的应用为例江苏省太湖高级中学周德明蔡旭林前不久，笔者应邀在无锡市高三数学“一模”质量分析及教学研讨会上开设“组合恒等式的应用”微专题示范课，受到与会人员高度赞赏，现整理如下：一、关于微专题复习“专题”一般指涵盖知识广、研究方法活、综合能力强的“大专题”，如分类讨论专题、函数与方程专题、转化与化归专题等．“微专题”是相对于“大专题”而言，往往以某一个（或几个）具体知识点为切入点，“问题集中、操作灵活、指向性强”，具有“因微而准，因微而细，因微而深”的特点，高三“二轮”复习从实际的需要出发，设计“小”、“准”、“精”的微

2、专题，不仅话题集中、耗时较少、针对性强、实效性好，而且可以促进学生的深度学习，有利于学生获得清晰的数学知识网络、系统的数学研究方法，加深对数学的理解，从而提高学生的数学素养，促进学生深度学习．二、设计本专题缘由纵观近几年各地模考、高考试题，特别是2016年、2017年高考江苏卷理科附加压轴题，都能利用组合恒等式（以下简称“*”式）解决．而实际教学过程中，由于时间紧，本身对附加部分重视程度就不够，更何况对其中一个知识点或一个“等式”研究得就更少，往往被教师忽视，相关的网站、杂志上也难寻完整的课例、评析等。从学生实际的“真问题”出发，设计本微专题．2017版普通高中数学课程标准

3、进一步明确：着力发展核心素养、提升关键能力是高中教育的主要目标，而素养的发展、能力的提升并不是一朝一夕的事，需要我们广大一线教师立足课堂、潜心研习、精心设计“好问题”．笔者以为关注“概念与理解、问题与转化、变化与确定”是发展核心素养、提升关键能力的主要途径．本节课的设计以发展学生数学抽象的核心素养为前提，从“变化”与“确定”两方面引导学生多视角思考（*式）应用．三、课堂教学实录（简要）（一）尝试练习⑴求值：=____________；⑵证明：．片断一师：尝试练习（1），结果是多少？怎样得到？生1：0，利用组合数公式，计算求得．生2（举手）：直接利用组合恒等式（*式），，结果

4、是0．师：哪种方法更好？7众：后一种．师：本小题是2016年江苏高考附加题第23题第一问，属容易题，考生都能得分，但不同思维层次的考生所用时间不尽相同．这也许正是高考题的经典所在．后一种方法之所以好，是由于用了重要的组合恒等式（*式）．仔细分析近年来高考试题及各地模考试题，特别是2016、2017年高考江苏卷附加最后一题（23题），都与之密切相关，本节课将与小伙伴们一起攀岩高考数学卷附加题“制高点”．设计意图：回顾组合数公式，联想组合恒等式，揭示课题．片断二师：尝试练习（2），能给出证明吗？生3：从形式上看，根据组合数性质想到首尾相加．生4（抢答）：倒序相加（类似等差数列求

5、和）．师：请具体一点．生4：等式左边记作，倒序再写一行两式相加所以．生5：本题n，与正整数相关命题可以考虑使用数学归纳法证明．师：说说看！生5：①当n=1时，左边=右边=1，成立．②假设当n=k（k）时成立，即则当n=k+1时，左边=由组合数性质化简······生6：太繁了．我想还是利用组合恒等式（*式）．考虑通项，左边==右边．师：怎么样？集体的智慧是无限的．我们是不是该为他们“点赞”．众：（一片掌声）．生7（主动站起来）：我也是从形式出发联系到二项式定理，7构造函数，求导得，令x=1，就是所需证明等式．众：（再次响起热烈掌声）．师：一道经典题，在我们共同努力下得到了诸多

6、解法．相比而言，哪种方法最容易想到，且运算最简单？众：还是利用组合恒等式（*式）．生6（举手）：通项中下标n是定值，而系数与上标同时在变化，利用（*式）即可转化为，系数n为定值，下标也为定值，利用组合恒等式：即可．师：很好．该同学从通项的结构特征出发，从变化与确定的角度抽象出数学规律，将变化的系数转化为确定的值，让我们沿着这样的探索之路前行．设计意图：回顾组合数性质：①②，组合恒等式①②（*式）．从形式上联想到特殊数列求和方法——倒序相加法，二项式定理中构造函数两边求导，体现算两次思想，及与正整数相关命题的特殊证法——数学归纳法．又从结构上联想到组合恒等式（*式）——变换系

7、数法，以“定”制“动”．通过一题多解充分调动学生积极性，激发潜能、放飞思维、培养素养、提升能力．（二）典例探究题组一：1．（2008高考江苏卷改编）对于正整数，求证：；2．（2016高考江苏卷）（1）略；（2）设m，nN*，n≥m，求证：（m+1）+（m+2）+（m+3）+…+n+（n+1）=（m+1）．题组二：1．若，则n=____________2．（2017高考江苏卷）已知一个口袋中有m个白球，n个黑球（m,n,n2），这些球除颜色外完全相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3，…