《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》课件

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1、1.1.3分类计数原理与分步计数原理(三)一、复习回顾:两个计数原理的内容是什么?解决两个计数原理问题需要注意什么问题?有哪些技巧?练习:三个比赛项目,六人报名参加。1)每人参加一项有多少种不同的方法?2)每项1人,且每人至多参加一项,有多少种不同的方法?3)每项1人,每人参加的项数不限,有多少种不同的方法?例1用0,1,2,3,4,5这六个数字,(1)可以组成多少个各位数字不允许重复的三位的奇数?(2)可以组成多少个各位数字不重复的小于1000的自然数?(3)可以组成多少个大于3000,小于5421且各位数字不允许重复的四位数?升华发展一、排数字问题1、将数字1,2,3,4,填入标号为

2、1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数字,则每个格子的标号与所填的数字均不同的填法有_____种引申:1号方格里可填2,3,4三个数字,有3种填法。1号方格填好后,再填与1号方格内数字相同的号的方格,又有3种填法,其余两个方格只有1种填法。所以共有3*3*1=9种不同的方法。二、映射个数问题:例2设A={a,b,c,d,e,f},B={x,y,z},从A到B共有多少种不同的映射?三、染色问题:例3有n种不同颜色为下列两块广告牌着色,要求在①②③④四个区域中相邻(有公共边界)区域中不用同一种颜色.(1)若n=6,为(1)着色时共有多少种方法?(2)若为(2)着色时共有120种不同方法,求

3、n①③①④③④②②(1)(2)2、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种?解:按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,第一步,m1=3种,第二步,m2=2种,第三步,m3=1种,第四步,m4=1种,所以根据乘法原理,得到不同的涂色方案种数共有N=3×2×1×1=6种。2、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种?若用2色、4色、5色等,结果又怎样呢?答:它们的涂色方案种数分别是0、

4、4×3×2×2=48、5×4×3×3=180种等。思考:3.如图,用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色,规定一个区域只涂一种颜色,相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有种。ABCD分析:如图,A、B、C三个区域两两相邻,A与D不相邻,因此A、B、C三个区域的颜色两两不同,A、D两个区域可以同色,也可以不同色,但D与B、C不同色。由此可见我们需根据A与D同色与不同色分成两大类。解:先分成两类:第一类,D与A不同色,可分成四步完成。 第一步涂A有5种方法,第二步涂B有4种方法;第三步涂C有3种方法;第四步涂D有2种方法。根据分步计数原理,    共有5×4×3×2=120种方

5、法。根据分类计数原理,共有120+60=180种方法。第二类,A、D同色,分三步完成,第一步涂A和D有5种方法,第二步涂B有4种方法;第三步涂C有3种方法。根据分步计数原理,共有5×4×3=60种方法。4、某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分(如右图)现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有______种.(以数字作答)(1)②与⑤同色,则③⑥也同色或④⑥也同色,所以共有N1=4×3×2×2×1=48种;所以,共有N=N1+N2+N3=48+48+24=120种.(2)③与⑤同色,则②④或⑥④同色,所以共有N2=4×3×2×2×1

6、=48种;(3)②与④且③与⑥同色,则共N3=4×3×2×1=24种解法一:从题意来看6部分种4种颜色的花,又从图形看   知必有2组同颜色的花,从同颜色的花入手分类求6、将3种作物种植在如图所示的5块试验田里,每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物,不同的种植方法共有种(以数字作答)425、如图,是5个相同的正方形,用红、黄、蓝、白、黑5种颜色涂这些正方形,使每个正方形涂一种颜色,且相邻的正方形涂不同的颜色。如果颜色可反复使用,那么共有多少种涂色方法?四、子集问题规律:n元集合的不同子集有个。例:集合A={a,b,c,d,e},它的子集个数为,真子集个数为,非空子集个数为,非

7、空真子集个数为。五、综合问题:例4若直线方程ax+by=0中的a,b可以从0,1,2,3,4这五个数字中任取两个不同的数字,则方程所表示的不同的直线共有多少条?2、75600有多少个正约数?有多少个奇约数?解:由于75600=24×33×52×775600的每个约数都可以写成的形式,其中    ,   ,   ,于是,要确定75600的一个约数,可分四步完成,即i,j,k,l分别在各自的范围内任取一个值,这样i有5种取法,j有4种取

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