2017年北京市东城区东直门中学高三上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

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1、北京东直门中学2016—2017学年度第一学期期中考试高三数学（理）2016．11考试时间：120分钟总分150分第一部分（选择题）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）．1．已知集合，，则（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】，，∴．故选．2．“”是“”的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】或，∴“”是“”的充分不必要条件．故选．3．设命题，，则为（）．A．，B．，C．，D．，【答案】A【解析】特称命题的否定为全称命题，∴为“，”．故选．4．已知，，则（）．A．B．C．D．，【答案】D【解析】∵，，∴，，

2、∴．故选．5．函数与在同一直角坐标系下的图像大致是（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】对于函数，当时，函数值为，过点，排除，．对于函数，当时，函数值为，过点，排除．综上，故选．6．为了得到函数的图像，可以将函数的图像（）．A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位【答案】D【解析】，所以为了得到函数的图象，可以将的图象向左平移个单位．故选．7．设，是两个非零向量（）．A．若，则B．若，则C．若，则存在实数，使得D．若存在实数，使得，则【答案】C【解析】根据向量加法的几何意义，，其中等号当且仅当向量，共线时成立，所以由，可得存在实数，使得．故选．8．已

3、知函数满足：且，．（）．A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】B【解析】由题意可得下图：项，，，故项错误；项，若，如图，，，若，则等号成立，故项正确；项，，，故项错误；项，，，故项错误．综上所述，故选．第二部分（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．定积分的值为__________．【答案】【解析】10．在三个数，，中，最小的数是__________．【答案】【解析】，．故三个数，，中最小的数是．11．设，向量，，若，则__________．【答案】【解析】∵，∴，∵，∴，∴，解得．12．已知函数的定义域为，当时，;当时，；当时，．则_______

4、___．【答案】【解析】当时，，所以当时，，故；当时，，所以．当时，，所以，故．13．已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则的取值范围是__________．【答案】【解析】当，函数的图象如图：∵时，，∴要使得关于的方程有三个不同的根，则：，即，解得，．故的取值范围是．14．如图，正方形的边长为，点，分别在边，上，且，．如果对于常数，在正方形的四条边上，有且只有个不同的点使得成立．那么的取值范围是__________．【答案】【解析】以为轴，以为轴建立平面直角坐标系，如图，则，，①若在上，设，，则，．∴，∵，∴．∴当时有一解，当时有两解．②若在上，设，，则，．∴

5、．∵，∴．当或，有一解，当时有两解．③若在上，设，，则，，∴．∵，∴．∴当时有一解，当时有两解．④若在上，设，，则，．∴．∵，∴．∴当或，有一解，当时有两解．综上所述，∴．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．已知函数．（）求函数的最小正周期和单调递增区间．（）求函数在上的值域．【答案】（）根据题意得：故函数的最小正周期．由，，可得：，故函数的单调递增区间是，．（）∵，∴，∴，∴，即，故函数在上的值域为．16．已知数列满足，且，，成等差数列，设．（）求数列，的通项公式．（）求数列的前项和．【答案】【解析】（），∴为等比数列，其公比为．∵，，成等差数列，∴，即，解得：．∴，，故，

6、．（）由，可得的前几项和为．当时，，即；当时，可得：．综上可得，．17．在中，内角、、、所对边的长分别为、、，且．（）若，，求角的大小．（）求的取值范围．【答案】【解析】（）在中，，,∴,．由正弦定理，可得：，∴，∴．∴．（）．∵，∴．∴，∴，即．故的取值范围是．18．已知函数．（）求曲线在点处的切线方程．（）求函数的零点和极值．（）若对任意，都有成立，求实数的最小值．【答案】【解析】（）∵，，∴，，∴在点处的切线的斜率为，切点为，∴切线方程为：，即．（）由，可得，即零点为；由时，，递增，时，，递减，可得：当时，取得极小值，，无极大值．【注意有文字】（）当时，，当时，，若，令，，则，

7、，由于，则有，不符合题意；若时，对任意，，都有，，则有，所以，即时，对任意，，都有成立．综上所述，实数的最小值是．19．如图，椭圆经过点，且离心率为．（）求椭圆的方程．（）经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，（均异于点），判断直线与的斜率之和是否为定值？若是定值，求出改定值；若不是定值，请说明理由．【答案】【解析】根据题意知：，，结合，解得：，，，∴椭圆的方程为：．（）由题设知，直线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立，，得．由已知，设，，，则，，从