绝对值三角不等式的解法

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1、1.绝对值三角不等式1.理解绝对值的几何意义.2.掌握绝对值三角不等式及其几何意义.3.掌握三个实数的绝对值不等式及应用.1.本课重点是绝对值不等式定理的几何意义及应用.2.本课难点是用绝对值三角不等式的两个定理证明含绝对值的不等式问题.绝对值不等式绝对值不等式几何意义绝对值三角不等式实数a的绝对值

2、a

3、表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离.对于任意两个实数a,b,设它们在数轴上的对应点分别为A,B,那么

4、a-b

5、的几何意义是数轴上A,B两点之间的距离,即线段AB的长度.如果a,b是实数，则

6、a+b

7、≤

8、a

9、+

10、

11、b

12、,当且仅当ab≥0时，等号成立.如果a,b,c是实数，那么

13、a-b

14、≤

15、a-b

16、+

17、b-c

18、,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立.定理1定理2

19、a

20、

21、a-b

22、1.

23、a+b

24、与

25、a

26、-

27、b

28、,

29、a-b

30、与

31、a

32、-

33、b

34、及

35、a

36、+

37、b

38、分别具有什么关系？提示：

39、a

40、-

41、b

42、≤

43、a+b

44、,

45、a

46、-

47、b

48、≤

49、a-b

50、≤

51、a

52、+

53、b

54、.2.三个实数的绝对值不等式的几何意义是怎样的？提示：数轴上任意一点到两点的距离之和，不小于这两点的距离.3.函数y=｜x-1｜+｜x-3｜的最小值是_______.【解析】y=

55、｜x-1｜+｜x-3｜≥｜x-1+3-x｜=2.答案：21.定理2的几何解释在数轴上，a,b,c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点A，C之间时，

56、a-c

57、=

58、a-b

59、+

60、b-c

61、；当点B不在点A，C之间时，

62、a-c

63、＜

64、a-b

65、+

66、b-c

67、.2.不等式

68、a

69、-

70、b

71、≤

72、a±b

73、≤

74、a

75、+

76、b

77、中“=”成立的条件不等式

78、a

79、-

80、b

81、≤

82、a+b

83、≤

84、a

85、+

86、b

87、，右侧“=”成立的条件是ab≥0，左侧“=”成立的条件是ab≤0，且

88、a

89、≥

90、b

91、；不等式

92、a

93、-

94、b

95、≤

96、a-b

97、≤

98、a

99、+

100、b

101、，右侧“=”成立的条件

102、是ab≤0,左侧“=”成立的条件是ab≥0且

103、a

104、≥

105、b

106、.与绝对值不等式相关的判断【技法点拨】与绝对值不等式相关的判断方法与技巧(1)判断一个不等式成立与否,往往是对影响不等号的因素进行分析,如一个数的正、负、零等，数(或式子)的积、平方、取倒数等都对不等号产生影响，注意考查这些因素在不等式中的作用，一个不等式的成立与否也就比较好判断了.(2)如果对不等式不能直接判断,往往需要对不等式化简整理或变形后再利用绝对值不等式进行判断.【典例训练】1.若x<5,n∈N+,则下列不等式:①②③④其中,能够成立的有____

107、____.2.不等式≥1成立的充要条件是_____.【解析】1.∵0<<1,∴lg<0,由x<5,并不能确定

108、x

109、与5的关系.所以①②③均不成立.又∵

110、x

111、lg≤0,5

112、lg

113、>0,故④成立.答案：④2.①当

114、a

115、>

116、b

117、时,有

118、a

119、-

120、b

121、>0,∴

122、a+b

123、≥

124、

125、a

126、-

127、b

128、

129、=

130、a

131、-

132、b

133、.∴必有≥1，即

134、a

135、>

136、b

137、是≥1成立的充分条件.②当≥1时,由

138、a+b

139、>0,必有

140、a

141、-

142、b

143、>0,即

144、a

145、>

146、b

147、,故

148、a

149、>

150、b

151、是≥1成立的必要条件.∴不等式成立的充要条件为

152、a

153、>

154、b

155、.答案：

156、a

157、>

158、b

159、

160、【想一想】你知道如何证明｜a｜-｜b｜≤｜a-b｜≤｜a｜+｜b｜吗?提示：整体代换法：利用｜a｜-｜b｜≤｜a+b｜≤｜a｜+｜b｜得｜a｜-｜-b｜≤｜a+(-b)｜≤｜a｜+｜-b｜,即｜a｜-｜b｜≤｜a-b｜≤｜a｜+｜b｜.【变式训练】“

161、x-A

162、<,

163、y-A

164、<”是

165、x-y

166、

167、x-A

168、<,

169、y-A

170、<，则

171、x-y

172、=

173、x-A+A-y

174、≤

175、x-A

176、+

177、y-A

178、<+=q，所以

179、x-A

180、<,

181、y-A

182、

183、<是

184、x-y

185、

186、x-y

187、

188、x-A

189、<,

190、y-A

191、<,显然

192、x-A

193、<,

194、y-A

195、<不成立.求范围或最值【技法点拨】利用绝对值三角不等式求最值绝对值三角不等式反映了绝对值之间的关系，有些对于y=｜x-a｜+｜x-b｜或y=｜x+a｜-｜x-b｜型的函数最值求法，利用该不等式或其几何意义更简捷、方便.【典例训练】1.若不等式｜x-a｜+｜x-2｜≥1对任意的实数x均成立，则实数a的取值范围是______.2.求函数f(x)=｜x-3｜+｜x-1｜的最小值，并求出取最小值时x的范围.恒

196、成立绝对值不等式的几何意义：数轴上x到a与x到2的距离之和当a=1或a=3时，对任意的x，距离和的最小值为1，所以当a≤1或a≥3时该不等式恒成立审题转化求解结论答案：(-∞,1］∪［3,+∞)【解析】1.解题流程：2.根据定理2，f(x)=｜x-3｜+｜x-1｜≥｜(x-3)-(x-1)｜=2,当且仅当(x-3)(x-1)≥0,即x≥3或x≤1时，f(x)取得最小值2.