绝对值的不等式的解法

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1、含有绝对值的不等式的解法 【学习目标】1．使学生掌握｜ax＋b｜＜c与｜ax＋b｜＞c(c＞0)型的不等式的解法．2．使学生能够利用数形结合，分类讨论，方程与化归的思想解一些简单的绝对值不等式．【学习障碍】1．对绝对值的几何意义理解不到位．2．对于｜ax＋b｜＜c与｜ax＋b｜＞c(c＞0)两种类型的不等式的解法分辨不清．3．学生对数轴的利用率不够高．【学习策略】Ⅰ．学习导引1．预习课本P14~15．2．本节课的重点是｜x｜＜a与｜x｜＞a(a＞0)；｜ax＋b｜＜c与｜ax＋b｜＞c(c＞0)型不等

2、式的解法，难点是对绝对值几何意义的理解．关于本节的知识点有以下几个：(1)一般地，不等式｜x｜＜a(a＞0)的解集是：｛x｜－a＜x＜a｝．(2)不等式｜x｜＞a(a＞0)的解集是｛x｜x＞a或x＜－a｝．(3)其推论为：｜ax＋b｜＜c(c＞0)的解为：－c＜ax＋b＜c｜ax＋b｜＞c(c＞0)的解为ax＋b＞c或ax＋b＜－c．Ⅱ．知识拓宽1．不等式a≤｜x｜＜b(b＞a＞0)的解法．图1—11可以利用绝对值在数轴上的意义直接得出a≤x＜b或－b＜x≤－a．也可以利用不等式组来解．［例1］解不等

3、式1≤｜2x－1｜＜5．思路一：这是一个双连不等式，利用绝对值在数轴上的意义可以得出1≤2x－1＜5或－5＜2x－1≤－1，从而求出不等式的解．解：原不等式等价于1≤2x－1＜5或－5＜2x－1≤－1，即：2≤2x＜6或－4＜2x≤0．解得：1≤x＜3或－2＜x≤0．故原不等式的解集为｛x｜－2＜x≤0或1≤x＜3｝①②思路二：将原不等式转化为进而求出①与②不等式解集的交集．解：原不等式等价于即①或②不等式组①的解为1≤x＜3．不等式组②的解为－2＜x≤0．故原不等式的解集为｛x｜－2＜x≤0或1≤x

4、＜3｝误区点评：在进行原不等式等价转化时，容易发生以下失误．在第一种解法中，将不等式转化为1≤2x－1＜5或－1≤2x－1＜5，在第二种解法中，将不等式转化为．2．含有两个或两个以上的绝对值号的不等式的解法．［例2］解不等式｜x＋3｜＋｜x－3｜＞8．思路一：这是一个含有两个绝对值符号的不等式，为了使其转化为解不含绝对值符号的不等式，应进行分类讨论．解：令x＋3＝0，x－3＝0，得x＝－3或3．∴①，解得：x＞4．②，解得：．③，解得：x＜－4．取①②③的并集得原不等式的解为x＞4或x＜－4．点评：解

5、这类绝对值符号里是一次式的不等式如：｜x－a｜＋｜x－b｜＞c或｜x－a｜－｜x－b｜＜c，｜x－a｜＞｜x－b｜或｜x－a｜＞x－b常用“零点分段法”．其一般步骤为：(1)分别求出每个绝对值为零的根，称之为零点；(2)将各零点在数轴上标出来，它们将数轴分成若干段；(3)依次对各段上的x进行讨论，求出相应所得不等式的解集；(4)取这些不等式解集的并集即得原不等式的解集．思路二：利用函数的图象解题．解：分别画出y1＝｜x＋3｜＋｜x－3｜与y2＝8的图象．图1—12y1＝由图象观察可知：要使y1＞y2，

6、只须x＜－4或x＞4．∴原不等式的解集为｛x｜x＜－4或x＞4｝．思路三：利用绝对值的几何意义解题．解：｜x＋3｜＋｜x－3｜＞8图1—13表示数轴上与A(－3)，B(3)两点距离之和大于8的点，而｜AB｜＝6，如图1—12．因此，要找与A、B距离之和为8的点，只须由点B右移1个单位，或点A左移一个单位，如图1—13．由图象可得：原不等式的解集为｛x｜x＜－4或x＞4｝．点评：对于形如｜x－a｜＋｜x＋b｜＞c，｜x－a｜－｜x－b｜＜c，或｜x－a｜＞｜x－b｜的不等式，利用不等式的几何意义或者画出

7、左右两边的图象去解不等式，更为直观，简捷．3．解关于x的绝对值不等式｜ax＋b｜＞c(a≠0)．［例3］解不等式｜ax＋b｜＞c(a≠0)．解：当c＜0时，解集为R．当c＞0时，得ax＋b＞c或ax＋b＜－c，即：ax＞c－b或ax＜－c－b．(ⅰ)a＞0时，不等式的解集为｛x｜x＞或x＜－｝(ⅱ)a＜0时，不等式的解集为｛x｜x＞－或x＜｝．当c＝0时，不等式的解集为｛x｜x∈R且x≠－｝点评：在解含有字母的绝对值不等式时，要讨论字母的取值范围，考虑全面．［例4］解不等式｜x＋1｜＞2－x．思路一：

8、对2－x的取值分类讨论．(1)当2－x≥0时，(x＋1)2＞(2－x)2得＜x≤2(2)当2－x＜0时，不等式恒成立．∴x＞2．∴不等式的解集为｛x｜x＞｝思路二：对x＋1的取值进行分类讨论．解：原不等式等价于：或得：x＞或．∴不等式的解集为｛x｜x＞｝．思路三：利用等价形式．解：原不等式等价于x＋1＞2－x或x＋1＜x－2，得x＞或．∴不等式解集为｛x｜x＞｝．点评：对于｜x｜＞a(a＞0)x＞a或x＜－a．可推广为：f(x)，g(x)是关于x的代数式