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1、不等式证明中的常用策略湖北省秣归县一中熊敏443600策略是指导行动的方针，同时也是增强效果、提高效率的艺术。不等式证明是中学数学中比较重要的内容，由于证明的方法多，技巧性强，一直以来它也成了同学们在学习中的一个难点。本文试图介绍一些不等式证明中的常用策略，以便同学们在不等式的证明中得到一些启发。一、差异分析通过分析条件与结论之间的异同，并不断减少目标差來完成解题的策略，称为差异分析。例1：已知函数f(x)-tanx,x6(0,—),若x,,x2e(0,—)»且xt*x2证明22空=旦凹〉tanX
2、鱼(1994年高考理科)22首先分析求证不等式左、右两边间的差异，然后通过消除差异来完成证明。项目左边右边解决方案角兀］，七x{+x22半角公式函数正切正切化切为弦既然我们已找到了左右两边的差异，我们就可以减少一些冃标差。如从角來看，我们可以把旦尹转化成州+兀2,与左边目标靠近些,于是我们选择tan31=sing+x2)这个公式的好处在于把角变换21+cos。】+x2)成了州+兀2,而且名称也由“切”化到“弦”。为了进一步减少目标差,我们把左边化切为弦，即：左边二沁+也Jii^cos勺+simco
3、gCOSX]cosx22COSXjcosx2_sin（x）+x2）2cosXjcosx2从而原命题可变成证明：血（E+勺）〉sing+工2）2COS兀]COS兀21+COS（兀]+兀2）显然只须证明：1+COS（X]+兀2）〉2COSX]COSX?即：COS（Xj+x2）<1到此,目标顺利完成。当然，此题还可以选择其他手段来解决，但这种从差异入手，寻求解决问题的方法在不等式的证明屮不失为一种基本策略。二、函数思想构造函数，利用函数单调性，对有些不等式的证明会收到奇效。例2：已知饰山是正整数,且<
4、i（1+创（2001年高考理科）这个不等式结构简洁，但要证明它，还是有一定难度的，如果我们从结论入手，要证（1+加）"〉（1+刃）也，只要证：72伽（1+加）>〃伽（1+〃）•••^>1,即证：廻凹〉业氏从而构造函数/（沪理也,（兀〉1）mnx・•・厂⑴」1-伽（1严]-衍（1+力兀〉1,且兀訪，伽（1+兀）〉1X（1+X）••・广⑴<0・•・/"）在（1,+°°）为减函数•/m/（n）艮卩％（1+m）〉力（1+n）mn•I（1+加）"〉（1+町”三、
5、以退求进虽然进退不能割裂，进而有退，退不忘进，但对证明思路的发现而言，退比进更为重要。退，可以从一般退到特殊，从复杂退到简单，从抽象退到具体,从整体退到部分。>1003例3：已知兀、yazRy且x+y+z=1,证明:(兀+丄r+(y+丄r+(z+丄尸X)'Z分析：将不等式变形为:/+)“+/+—+丄+丄n27丄X2y2z23我们从取等号的条件可以退回到特殊情况，即"尸"丄，此时x2+>-+?丄+4+丄=27。3x-厂z~因此，我们只须证：—耳111、_+_+_$27厂厂p+Z由3(x2+y2+Z2
6、)>(x+y+z)2ojffix2+亠与兀・*込5(匕4)2=丄(xyz)2^327可得亠+丄+丄上272）厂z从而原命题得证。四、数形结合数和形是初等数学中研究得最多的对象。华罗庚教授说过“数无形时少直觉，形少数吋难入微”。有些不等式利用数形结合，可以化“陌生”为“熟悉”，使要求证的问题变得简洁明白。例4:若兀>0,y>0,z>0,求证k_小+）；2+Jy2_yz+?2〉厶2_”+兀2分析：rhX2_xy+y2=x2+y2+Z由3(x2+y2+Z2)>(x+y+z)2ojffix2+亠与兀・*込
7、5(匕4)2=丄(xyz)2^327可得亠+丄+丄上272）厂z从而原命题得证。四、数形结合数和形是初等数学中研究得最多的对象。华罗庚教授说过“数无形时少直觉，形少数吋难入微”。有些不等式利用数形结合，可以化“陌生”为“熟悉”，使要求证的问题变得简洁明白。例4:若兀>0,y>0,z>0,求证k_小+）；2+Jy2_yz+?2〉厶2_”+兀2分析：rhX2_xy+y2=x2+y2-2xycos60°我们想到：构造一个三棱锥VABC(如图)使VAf,VB=y,VC=z,ZAVB=ZBVC=CVA=60
8、()从而rflAABC中两边之和大于第三边，即得所求。五、有效增设对所面临的问题，在不改变题意例5:求证++(2〃+1)2分析：用数学归纳法证明，n二1时,显然成立。假设n二k时，不的前提下，增加一点条件使得问题更容易求解，叫做有效增设。等式成立。11119+25++(2)t+l)2<4两边也加上莎条得存圭+•••+詁尹詁尹冷*莎七这时，右边人于丄，无法推出命题当n=k+l时成立，现改证加强命题:4111111+■■•V925⑵2+1尸44(〃+1)证明：(1)当n==l吋，丄<丄
