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时间:2018-11-13
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1、常用均值不等式及证明证明概念: 1、调和平均数调和平均数: 2、几何平均数: 3、算术平均数: 4、平方平均数: 这四种平均数满足 ,当且仅当时取“=”号 均值不等式的一般形式:设函数函数(当时); (当时)(即 则有:当r=-1、1、0、2注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形,即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2) 由以上简化,有一个简单结论,中学常用均值不等式的变形:(1)对实数a,b,有(当且仅当a=b时取“=”号), (2)对非负实数a,b,有,即 (3)对负实数a,b,有 (4)对实数a,b,有 (5)对非负实数a,b
2、,有 (6)对实数a,b,有 (7)对实数a,b,c,有 (8)对实数a,b,c,有 (9)对非负数a,b,有 (10)对实数a,b,c,有均值不等式的证明:方法很多,数学归纳法数学归纳法(第一或反向归纳)、拉格朗日乘数、拉格朗日乘数法法、琴生不等式、琴生不等式法、排序不等式排序不等式法、柯西不等式柯西不等式法等等 用数学归纳法证明,需要一个辅助结论。 引理:设A≥0,B≥0,则 注:引理的正确性较明显,条件A≥0,B≥0可以弱化为A≥0,A+B≥0,有兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法)。 原题等价于:。 当n=2时易证; 假设当n=k时命题成
3、立,即 。那么当n=k+1时,不妨设是中最大者,则 设 用引理 。用归纳假设 下面介绍个好理解的方法 琴生不等式法 琴生不等式:上凸函数是函数在区间(a,b)内的任意n个点, 则有: 设,为上凸增函数 所以, 即 在圆中用射影定理证明(半径不小于半弦)
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