常用均值不等式及证明证明.doc

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1、常用均值不等式及证明证明概念：　　1、调和平均数：　　2、几何平均数：　　3、算术平均数：　4、平方平均数：　　这四种平均数满足　　，当且仅当时取“=”号　　均值不等式的一般形式：设函数(当时);　　(当时）（即　　则有：当r=-1、1、0、2注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)　　由以上简化，有一个简单结论，中学常用均值不等式的变形：(1)对实数a,b，有(当且仅当a=b时取“=”号)，　　(2)对非负实数a,b，有，即　　(3)对负实数a,b，有　　(4)对实数a,b，有　　(5)对非负实数a,b，有　　

2、(6)对实数a,b，有　　(7)对实数a,b,c，有　　(8)对实数a,b,c，有　　(9)对非负数a,b，有　　(10)对实数a,b,c，有均值不等式的证明：方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等　　用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。　　引理：设A≥0，B≥0，则　　注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0(用数学归纳法)。　　原题等价于：　　当n=2时易证；　　假设当n=k时命题成立，即　　那么当n=k+1时，不妨设是中最大者，则　　　设　用引理　用归纳假设　　下面介绍个

3、好理解的方法　　琴生不等式法　　琴生不等式：上凸函数是函数在区间(a,b)内的任意n个点，　　则有：　　设，为上凸增函数　　所以，　　即　　在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦）