证明不等式的基本策略

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1、例谈“放缩法”证明不等式的基本策略近年來在髙考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的一个难点，它可以考察学牛逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一捉的是，高考中可以用“放缩法”证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点,有极大的迁移性，对它的运用往往能体现出创造性。“放缩法”它可以和很多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。因为放缩必须有目标，而且要恰到好处，日标往往要从证明的结论考察，放缩吋要注意适度，否则就不能同向传递。卞而结合i些高考试题，例谈“放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。1、添加或舍弃一些正项（或负项）例仁己知％

2、=2”—lSwNj.求证：巴—丄v去+幺+...+竺5丘“）.23色色+1证明:2“—1%+1_11_2_2(2'+1-1)_11~2~3.2k+2k-2>---(-+4+-23222n1>2_3?匚丄<去+鱼++£<々〃“)・23勺°3色+12若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放人或缩小,利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍公了2"-2,从而是使和式得到化简.2、先放缩再求和（或先求和再放缩）例2、W(x)=—求证:/(1)+f(2)+…4/(〃)＞〃+莎-尹占）

3、.证明：由f（n）=上二=1・一^〉1一一—1+4"1+4〃2・2”得/*(1)4/(2)+•••+£(72)>1!—+1J—+•••+]—2-212-222・2"1Z1111、11/入宀=n——(1+—+—+•••+)=n+(ngAT).4242n_2"+2此题不等式左边不易求和，此时根据不等式右边特征，先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和.若分了，分母如果同时存在变量时，要设法使其屮之变为常量,分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）例3.已知a

4、n=n,求证：<3.证明：4k#寸伙一1)伙+1)()k+1+y]k~l)Jt=2y](K-l)(K+L)1+7伙一i)7伙+i)本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标.4、放大或缩小“因式S1n1例4、已知数列｛%｝满足d“+]=o：,0v®5—，求证：工(务一色+i)@+2<—•2火=132证明•.*0<<—,an^=a^,:.a2=af<—,a^<——..•.当應Al,0

5、兔+J，最终得出证明.5、逐项放大或缩小2例5、设Q”=71x2+72x3+73x4+…+Qn(n+1)求证:十°1对

6、任何止整数也」都成立.证明：要证伍爲一也禺“>1，只要证5%>1+仏勺+2血虫”.因为amn=5〃加一4,a川61“=(5/77-4)(5〃-4)=25/777?-20(/774-71)+16,故只要证5(5/nn-4)>14-25mn一20(加+“)+16+2y/aman,即只要证2(加+2(加-37>2血/”.因为2y]aman

7、mVn.(1)证明:必；”(1+沪证明：⑴对于且A；-m(/n—/+1),A；w_mm-1m-i^冃丫中人；nn-1〃一i+1，同理一=tnmmnnnn由于m—~-nmA，A，所以牛〉3,即肘a：*3；n'm1(2)由二项式定理有:(1+〃?)"=1+C冷+C；亦+…+C；；m,(1+M”=1+cA+c細?+•・・+c；；；几A'A'由(1)知MA；