4、式成立.2&伙+1)+1」+伙+1)+、2耐综合(1)、(2)得：当"WN”时，都有1+丄+丄+・・・+丄<2乔.V2V3y/n另从k到R+1吋的证明还有下列证法：•・•2伙+1)-1一2jk(k+1)=k-2Jp仗+1)+仗+1)=(VT-Vr+7)2>0,/.2jk伙+1)+1<2伙+1),*/Ja+1>0,2,-l~kH—/<2』k+1.VEh又女口:•••2VTm-2y/k=—-=>/2=Jk+l+JkJk+l+Jk+1y/k+1"l^fkd—/<2Jk+1.4k+证法二：对任意RGN；都有:—(=7=<-7=1=2(V^—JR_1),y/k+y/kyjk
5、+y/k-l因止匕1+丄+亠+…・+亠<2+2(血一1)+2(希一血)+…+2(亦一7^)=2咖a/2a/3y/n证法三：设/(/?)=2^/n+-^+吉+•••+/伙+1)-f(k)=2(V^TT-V^)—-tJ==,若x,y,z^R，a,b,eGR*,贝lj"十°兀'+°"y?+°十"/$2(xy+)‘z+mahc[2(k+1)-2、/上(上+1)—1JVk十"x/Zc+l]Jl+l•心1）一2时帀+心孚尹）2>0【大I此，对任意/?WN—都有■如）>/5—1）>・・・>/（1）二1>0,门宀刍+…+丄V2V34n2頁.[例2]求使仮+J7WoJx+y（x>0,
6、y>0）恒成立的a的最小值.命题意图：本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及学牛逻辑分析能力，属丁•★★★★★级题H.知识依托：该题实质是给定条件求最值的题目，所求。的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有关性质把。呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值.错解分析：本题解法三利用三角换元后确定。的取值范围，此时我们习惯是将x、yA/cos0、sin来对应进行换元，即令y[x=cos0,J7=sin〃（0<^<—）,这样也得aNsin〃+cos",但是这种换元是2错误的•其原因是：（1）缩小了小），的范围；（2）
7、这样换元相当于本题又增加了匚+尸1”这样一个条件,显然这是不对的.技巧与方法：除了解法一经常川的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若参数d满足不等关系,Cl,则Qn】in〒/⑴max；若^W/W，则dmax^Wmin，利用这一基本事实，可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题•还有三角换元法求最值用的恰当好处，可以把原问题转化.解法一：山于d的值为正数，将己知不等式两边平方，得：x+y+2y[xyW,(兀+y),即2y]~xy^(«2—l)(x+y),Ax,y>0,当且仅当吋，②中有等号成立.比较①、②得。的最小值满足«2-1=1,:.a=2fa=y[2（
8、因a>0）,:.a的最小值是解法二:Vx>0,y>0,.x+y^2^[xy(当x=y时"=”成立),・••更wi,匹的最大值是1.x+yx+y从而可知，“的最大值为Jl+1=V2,乂由己知，得5,：・a的最小值为解法三：・・、>（）,•••原不等式可化为,设0丘(0,-).2/.tan(^+^a5/tan二、解答题〈(★★★★★)己知a,b,c为正实数，a+b+c=l.求证：()a2+bhc2^-3(2)J3a+2+J3b+2+J3c+2W6★★)已知y,z^R,且x+y+z=1,x2+y2+^2=—,证明：x,y,[0,—]3明卜列不等式：1
