不等式证明的常用策略

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1、膄芈蒇蚈芇膁螆蚇羆莇蚂蚆聿腿薈蚆膁莅蒄蚅袀膈莀螄羃莃虿螃肅膆薅螂芇莁薁螁羇芄蒇螀聿蒀莃螀膂芃蚁蝿袁蒈薇螈羄芁蒃袇肆蒆荿袆膈艿蚈袅袈肂蚄袄肀莇薀袄膃膀蒆袃袂莆莂袂羅腿蚀袁肇莄薆羀腿膇蒂罿衿莂莈羈肁膅螇羈膃蒁蚃羇芆芃蕿羆羅葿蒅薂肈节莁薂膀蒇蚀蚁袀芀薆蚀羂蒅蒂虿膄芈蒇蚈芇膁螆蚇羆莇蚂蚆聿腿薈蚆膁莅蒄蚅袀膈莀螄羃莃虿螃肅膆薅螂芇莁薁螁羇芄蒇螀聿蒀莃螀膂芃蚁蝿袁蒈薇螈羄芁蒃袇肆蒆荿袆膈艿蚈袅袈肂蚄袄肀莇薀袄膃膀蒆袃袂莆莂袂羅腿蚀袁肇莄薆羀腿膇蒂罿衿莂莈羈肁膅螇羈膃蒁蚃羇芆芃蕿羆羅葿蒅薂肈节莁薂膀蒇蚀蚁袀芀薆蚀羂蒅蒂虿膄芈蒇蚈芇膁螆蚇羆莇蚂蚆聿腿薈蚆膁莅蒄蚅袀膈莀螄羃莃虿螃肅膆薅螂芇莁薁螁羇

2、芄蒇螀聿蒀莃螀膂芃蚁蝿袁蒈薇螈羄芁蒃袇肆蒆荿袆膈艿蚈袅袈肂蚄袄肀莇薀袄膃膀蒆袃袂莆莂袂羅腿蚀袁肇莄薆羀腿膇蒂罿衿莂莈羈肁膅螇羈膃蒁蚃羇芆芃蕿羆羅葿蒅薂肈节莁薂膀蒇蚀蚁袀芀薆蚀羂蒅蒂虿膄芈蒇蚈芇膁螆蚇羆莇蚂蚆聿腿薈蚆膁莅蒄蚅袀膈莀螄羃莃虿螃肅膆薅螂芇莁薁不等式证明的常用策略山东于守卫一、函数的策略例1、已知0≤x≤,求证：5sin3x+3sinx≤5cos3x+3cosx。证明：设f(t)=5t3+3t，易知函数f(t)在R上是增函数。∵0≤x≤∴sinx≤cosx∴f(sinx)≤f(cosx)，即5sin3x+3sinx≤5cos3x+3cosx。例2、设a、b、c为绝对值小于

3、1的实数，求证：ab+bc+ca+1＞0。证明：设关于a的函数f(a)=ab+bc+ca+1=(b+c)a+bc+1（a∈[-1,1]）。把f(a)看作是a的一次（b+c≠0时）或常数（b+c=0时）函数，则f(-1)≤f(a)≤f(1)，或f(1)≤f(a)≤f(-1)。∵a、b、c为绝对值小于1的实数,∴f(1)=(b+c)+bc+1=(b+1)(c+1)＞0,f(-1)=-(b+c)+bc+1=(b-1)(c-1)＞0∴f(a)＞0，即ab+bc+ca+1＞0。二、方程的策略例3、已知：a+b+c=0,且abc=2。求证：a、b、c中至少有一个不小于2。证明：∵a+b+c=

4、0,且abc=2∴a、b、c中必有一个正数，不妨设a＞0，则有b+c=-a,bc=∴b、c是方程x2+ax+=0的两根，∴△=a2-4×≥0。又a＞0,∴a3≥8,即a≥2。故a、b、c中至少有一个不小于2。三、数形结合的策略例4、已知:函数f(x)=，求证：当x1≠x2时，︱f(x1)-f(x2)︱＜︱x1-x2︱。证明：设A(x1,1)，B(x2,1)，则︱OA︱==f(x1),︱OB︱==f(x2),︱AB︱=︱x1-x2︱;易知︱︱OA︱-︱OB︱︱＜︱AB︱∴︱f(x1)-f(x2)︱＜︱x1-x2︱。四、分类讨论的策略例5、已知函数f(x)的定义域为[0，1]，且f(

5、0)=f(1)；当x1、x2∈[0,1]，x1≠x2时，都有︱f(x2)-f(x1)︱＜︱x2-x1︱，求证：︱f(x2)-f(x1)︱＜。证明：不妨设0≤x1＜x2≤1,若x2-x1≤,则︱f(x2)-f(x1)︱＜︱x2-x1︱=即︱f(x2)-f(x1)︱＜；若x2-x1＞∵f(0)=f(1)∴︱f(x2)-f(x1)︱=︱f(x2)-f(1)+f(0)-f(x1)︱≤︱f(x2)-f(1)︱+︱f(x1)-f(0)︱≤︱x2-1︱+︱x1-0︱=(1-x2)+(x1-0)=1-(x2-x1)＜；综上︱f(x2)-f(x1)︱＜。五、归纳递推的策略例6、已知：a、b、c、d

6、均是小于1的正数，求证：a+b+c+d＜abcd+3。证明：∵a、b、c、d都是小于1的正数∴ab+1-a-b=(1-a)(1-b)＞0∴a+b＜ab+1∴a+b+c+d＜ab+c+d+1＜abc+d+2＜abcd+3，即a+b+c+d＜abcd+3成立。六、构造求解不等式的策略例7、已知：a、b∈R+，ab=a+b+3。求证：ab≥9。证明：∵a、b∈R+，∴a+b≥2∴ab≥2+3∴-2-3≥0即（+1）（-3）≥0∴≥3∴ab≥9。七、换元的策略例8、已知：a、b、c∈R+,a+b+c=1.求证：≥9。证明：令则x+y+z=1且x、y、z∈R+。∴===3+≥3+6=9八、

7、主元策略：不等式中字母个数较多时，合理选择一个字母为主要元素，证明不等式。例9、已知：a＞b＞c,求证:a2b+b2c+c2a＞ab2+bc2+ca2。证明：∵a＞b＞c∴a2b+b2c+c2a-(ab2+bc2+ca2)=（b-c）a2+(c2-b2)a+bc(b-c)=（b-c）[a2-(b+c)a+bc]=(a-b)(a-c)(b-c)＞0∴a2b+b2c+c2a＞ab2+bc2+ca2。例10、求证：对于任意实数a、b、c，a2+3b2+c2+3ab+3bc+ca＞0恒成