概率论-第二章2.2

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1、第二章随机变量及其分布一、随机变量二、离散型随机变量及其分布三、随机变量的分布函数四、连续型随机变量及其分布五、随机变量的函数的分布第一节随机变量对于随机试验而言，它的结果未必是数量化的。为了全面研究随机试验的结果，数学处理上的方便，要将随机试验的结果数量化。例：掷一枚硬币，S={,}HT1,e=H定义S上的函数，X=X(e)=0,e=T值域R={0,1}X1.定义:设随机试验E的样本空间是S={e},若对于∀∈eS,存在且唯一存在一个实数X(e)与之对应,即X(e)是定义在S上的单值实函数，称其为随机变量，简记为r.v.此处用{e}表示样本空间，并非样本空间中只有一个eX(e)S元

2、素e，而是用e表示所有R的元素。注(1)可用随机变量X描述事件.例掷一颗色子,设出现的点数记为X,事件A为“掷出的点数大于3”,则A可表示为“X>3”.X的一个变化范围表示一个随机事件:“2

3、目的：是要用随机变量的取值来描述随机事件。例.在n张已编号的考签中任抽一张，观察号码，Sn={1,2,,}X=“抽到考签的号码”Rn={1,2,,}X例.测量某灯泡的寿命,Stt={

4、≥0}令XXet=()=tS∈+RR=X随机变量的分类：随机变量因其取值方式的不同：仅可能取得有限个或可列无限多个数值离散型随机变量随机变量连续型随机变量非离散型随机变量其它（奇异型随机变量）第二节离散型随机变量及其分布律离散型随机变量定义离散型随机变量分布律几种常见分布离散型随机变量的定义如果随机变量X的全部不同取值是有限个或可列无限多个，则称X为离散型随机变量。离散型随机变量的概率分布设离

5、散型随机变量X的所有可能取值为x，x，，x，12k则称P{X=x}=p(k=1,2,)kk或也可用表格形式表示Xx1x2，xkPp1p2，pk为离散型随机变量X的概率分布或概率函数，也称为分布列或分布律另外还可用图形来表示分布律：线条图.X012pi0.0750.3250.6P0.60.40.2012X线条图求分布律的步骤:明确X的一切可能取值;利用概率的计算方法计算X取各个确定值的概率,即可写出X的分布律.离散型随机变量可完全由其分布律来刻划．即离散型随机变量可完全由其可能的取值以及取这些值的概率唯一确定．离散型随机变量概率分布的性质（1）对任意的自然数k，有p

6、≥0k用这两条性质∞判断一个函数（2）∑pk=1是否是分布律k=1例：设一汽车在开往目的地的道路上需经过三盏信号灯，每盏信号灯以概率p=1/2允许汽车通过变量X表示汽车停车次数(设各信号灯的工作是相互独立的）,求X的分布律。解：由题意可知Rx={0,1,2,3}，则X的分布律为X0123312223pkpC3(1−pp)C3(1−pp)(1−p)将p=1/2带入可得X的分布律为X01231331pk8888例：设随机变量X的分布律为：kλP(X=k)=a,k=0,1,2,…λ>0k!试确定常数a.解:依据分布律的性质P(X=k)≥0,∞∑PXk(=)1=k=1k∞k∞λλλ即λe=

7、∑a≥0,∑a=ae=1k!k!k=0k=0−λ从中解得a=e例：一汽车在开往目的地的路上需要通过四组信号灯,每个信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过.以X表示该汽车首次停下时它已通过的信号灯个数，求X的分布律.(设各组信号灯工作是相互独立)解:依题意,X可取值0,1,2,3,4.以p表示每组信号灯禁止汽车通过的概率设A={第i个信号灯禁止汽车通过},i=1,2,3,4iP{X=0}=P{A}=p1P{X=1}=P{AA}=P{A}P{A}=(1−p)p12122P{X=2}=P{AAA}=(1−p)p1233P{X=3}=(1−p)p4P{X=4}=(1−p)故X的分布律为：P{

8、X=k}=(1-p)kp，k=0,1,2,3P{X=4}=(1-p)4用表格表示为:X01234p234kp(1-p)p(1-p)p(1-p)p(1-p)以p=1/2代入得：X01234pk0.50.250.1250.06250.0625常用的离散型随机变量及其分布（重点）•一.“0-1”分布二.二项分布三.泊松分布一、两点分布定义若一个随机变量X只有两个可能的取值,且其分布为P{X=x1}=p,P{X=x2}=1−p,(0