对“握手问题”的探究oc

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1、对“握手问题”的探究江苏省兴化市竹泓初中冯安同袁德华邮编225716电话13182248486e-mailyuandehua711108@163.comI'可题1•某班共有45名学生，在元旦班级联欢晚会上两两握手致意，那么他们共握手多少次？对这个问题，我们可以作这样的假设：第1个学牛分别与其他44个学牛握手，可握44次手；第2个学生也分别与其他44个学住握手，可握44次手；……依此类推，第45个学生与其他44个学生握手，可握44次手，如此共有45X44次握手，显然此时每两人Z间都按握了两次手进行计算的。因此，按照题意，45个人每

2、两人Z间握一次手共握了45x44、，〒=990次手。2如果该班共冇n名学生，按照题意，就应冇Mn—D次握手,像这样解决问题的方法2我们不妨称它为“握手解法”。“握手解法”在数学上的应用非常广泛，现举几例如下：例1•已知—•条直线上共有5个点，那么这条直线上共有儿条线段？分析：将5个点看作是5名学牛，每两点构成一条线段，就好比是两个学生握手。而5x45个学生两两握手吋,按照“握手解法”，共握—=10次手，从而直线上5个点共构成210条线段。例2•平而上有10个点，任三点不在一条总线上，那么过两点画一条直线，共可画多少条直线？分析：

3、平面上的10个点就象是10个学生，过两点画一条直线，就好象是两个学生握10x9—•次手，其中"10,按照“握手解法”，共可画=45条直线。2例3』边形共有多少条对角线？分析：n边形共冇n个顶点，这n个顶点按照例2共可以构成乜二»条线段，去掉2n条边，所以n边形的对角线共有=条。222例4•己知正20面体的每个面都是三角形，求它的棱数。分析：将20个面看作是20个学生，相邻的两个面相交形成一条棱就好比两个学生握一次手，而每个面都是三角形，就好比是每个学生只能握三次手，所以共可握型。=302次手，即正20而体共有30条棱。以上我们探

4、讨了“握手解法”的一些数学应用，而在实际生活屮，有一类问题与握手问题相似，但它不需要除以2。现举例如下：例5•初三（1）班学生临毕业前，每人都互送明信片一张，现已知该班有45名学生，那么共需多少张明信片？分析：该问题小，甲同学送给乙同学的明信片与乙同学送给甲同学的明信片不一样，因此按照“握手解法”考虑问题时,不需除以2,即该班共需45X44=1980张明信片。例6•某列火车在叩、乙两城市间来回行驶，除卬、乙两城市外，中间还停靠8个站点,那么该列火年共需准备多少种车票？分析：该题中，火车从A站点到B站点的车票与从B站点到A站点的车

5、票是不一样的，所以按照“握手解法”考虑问题时，不需要除以2,即共需准备10X9=90种车票。“握手解法”除了上面的一些应用外，还有另一种应用。问题2.甲、乙两个排球队比赛结束后，与对方相互握手，以示友好，已知每个球队有12个队员，则他们共可握多少次手？分析：甲球队的每个队员分别与乙球队的12个队员握手，可握12次手，而甲球队有12个人，所以共握12X12=144次手。如果甲球队冇m个队员，乙球队冇n个队员，则口J握mn次手，像这样解决问题的方卜iD法我们也称它为“握手解法”。例7•已知由边长为1的正方形拼成如图所示的矩形ABCD

6、,图中共有（1）多少个矩形？（2）多少个正方形？分析：（1）图中AD±有6个点，可得AD上有^=1525x4个线段；AB±有5个点，可得AB±有一=1（）个线段。2而AD±的任一条线段与AB±的任一条线段“握手”，都会构成一个矩形，所以图屮共有mn=15X10=150个炬形。（2）AD上的线段与AB±的线段“握手”时，要构成正方形，就耍求“握手”的两条线段必须相等。如卜•表:线段长度AD上的条数AB上的条数“握手”次数1545X4=202434X3=123323X2=64212X1=2由表中可得,共“握手”20+12+6+2=4

7、0次，即图中共有40个正方形。例&如图是由棱长为1的正方体堆成的长方体，其长为5,宽为4,高为3,则图中共分析：（1）根据例7（1）的结论，矩形ABCD中共有150个矩形；AE上有4个点，共有—^=6条线2段。而矩形ABCD'P的任一个矩形与AE±的任一条线段“握手”，都可构成一个长方体，即共可构成mn=150X6=900个长方体。E（2）按照例7（2）的结论，矩形ABCD中共有40个正方形，这些正方形与AE上的线段“握手”，构成正方体时，要求AE上的线段长与正方形的边长相等。如下表:线段（边长）长度AE上的条数矩形ABCD中的

8、个数“握手”次数13203X20=6022122X12=243161X6=6由表中可得，共“握手”60+24+6=90次，即图小共有90个正方体。