第六讲：抽象函数问题的题型与解题策略(讲义)

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1、/(«)=抽象函数问题的题型与解题策略所谓抽象函数，是指没冇给出具体的断数解析式,只给出一些特殊条件或特征的函数。解决这类问题，需耍我们由条件去判断或推出该两数的性质(单调性，奇偶性,周期性)，从而达到解题的H的。山于抽象函数表现形式的抽彖性，使得这类问题成为畅数内容的难点Z—。解答这类题目，要求学生思维灵活，深刻，善于联想。面对抽象函数数学题，我们的解题思路-•般不外乎①合理赋值，化抽象为具体；②作恒等变形，找出该函数规律性、特征性特点；③分类讨论，归纳出抽象函数的实质问题。解答抽象两数题目有两招：“找模型”，“分类型”。一

2、、'‘找模型”.在屮学数学教材屮，人多都能找到所涉及到的抽彖两数的具体赣数模型。址不能用它來代替具体证明，但却能找到这些抽彖两数的若干性质的证明途径，特別是不需解题过程或证明过程的填空题、选择题，宜接用具体函数求解，得出答案即可。常见的抽彖函数模型有：(1)、线性函数模型。若f(x)定义域为D,对任意的a,bGD,有f(a+b)=f(a)+f(b),则其模型为:f(x)=kx.(2)、指数函数模型。若f(x)定义域为D,对任意的a,bGD,冇f(a+b)=f(a)Xf(b),则其模型为:f(x)二a：⑶、对数函数模型。若f(x

3、)定义域为D,对任意a,bGD,有f(ab)=f(a)Xf(b),则其模型为f(x)=log；.⑷、三角函数模型。若f(x)定义域为D,对任意的a,beD,冇f(a+b)=2ff(—~)，则其模型为：f(x)=cosx.22(模型还很多，这里不再一一赘述)。二、分类型。常见的有以下的类型:(一)、f[g(x)]$(W)f[h(x)]型，(其中g(x)与h(x)都是关于X的确定解析式)。(二)、f[g(x)]M(W)a型,(其中g(x)是关于x的确定解析式,a为常数)。[范例与方法]一、求定义域这类问题只要紧紧抓住：将函数f[g

4、M]中的g(兀)看作一个整体，相当于/(X)«P的x这一特性，问题就会迎刃而解。这类问题的一般形式是：已知函数『(x)的定义域是八，求蔽于(0(兀))的定义域。(或逆向问题)正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知0(兀)的值域B,且BoA,据此求x的取值范围。例1.(1)数y=f(x)的定义域为(一8,1],则函数y=/[log2(x2-2)]的定义域是•(2)知/(X)的定义域为(0,1),则y=/(%+«)+/(%-a)(ci<—)的定义域是二、求函数值问题这类问题要紧扌11己知

5、条件进行迭代变换，经冇限次迭代可点接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具冇周期性，利用周期性使问题巧妙获解。例2、(1)已知定义域为的函数f(x),同时满足下列条件：①/(2)=1,/(6)=-；②/(x-y)=/(x)+/(y),求f(3),f(9)的值。(2)已知/(无)是定义在R上的函数，且满足:/(%+2)[l-/U)]=l+/(x),/(2)=2008,求/(2006)的值。(3)定义在R上的函数/(兀)满足:/(x)=/(4一兀)且/(2-x)+/(x-2)=0,求/(2008)的值。4)已知.f(X)在(0,+8

6、)上有意义且为增函数,并且满足/⑴•⑴+丄]=1，则/⑴=X5)、函数fC0定义在整数集上，且满足72-3(H>1000)/[/(«+5)](H<1000)则/(100)=⑹设f:RJ的函数，对于任意正实数x,/(3x)=3/(x),5/(x)=l-l2-xl,(1

7、x,则/(X-l)=•(2)、已知两数f(x)是二次函数，且g(兀)=2xf(xg(x+1)=g(兀)+2曲・%2,求函数f(x)和g(x)的表达式.(3)、设fd)定义在正整数集上,且f⑴二1,fW=r(力+厂(y)+xy.求厂3.(4)、设对满足XH0,XH1的所有实数x,荫数/(X)X—1满足/(X)+/(——)=1+X，求f(X)的解析式。A.增函数且最小值为一5B.增函数且最大值为一5c.减前数且最小值为一5D.减函数且最人值为一5(2)设f(x)定义于实数集上，当尢＞0时，f(x)＞1,且对于任意实数X、y,冇f

8、(x+y)=f(x)-f(y),求证：.f(x)在R上为增函数。(3)已知/(X)为偶函数，且当X€(-00,0)时单调递减,求函数y=f(2x-X2)的单调递增区间。评注：(1)讨论复仑函数单调性时，要注意内层函数值域必须是外层函数的定义域的子集。(2)单调区间有两个及其以