从勾股定理看数学探究--数学探究漫谈之五

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1、《数学教学通讯》2003年2月(上半月)(总第171期)重庆·1·数学探究漫谈之五从勾股定理看数学探究(西南师范大学400715)张广祥方,方出于矩,矩出于九九八十一.故折矩以为1三类不同的教学问题勾广三、股修四、径隅五.故禹之所以治天下者,勾股定理是一个尽人皆知的数学定理,无此数之所生也.论是定理的内容还是定理的证明都不包含太多这段记载告诉我们,上古时代人们观察天的困难.在漫谈四中我们已经从勾股数的角度体运行、建立天文历法时首先需要一个计量系谈到由此衍生出来的一系列数论问题,其中包统,这种计量系统最初是由对一些特定的几何括著名的Lagrange四平方和定理.本

2、文将谈谈图形的计算开始的.这些几何图形包括矩形、正从几何的角度怎样在教学过程中把勾股定理教方形、三角形与圆等,而且这些几何图形之间存出新意、教出探究性.在着一定的变换关系.等积变换是平面图形的我们在教学过程中关心下面3个层次极不一个最基本的变换关系.相同的问题:2出入相补原理——勾股定理再发现(1)知道勾股定理;(2)证明勾股定理;容易知道任意多边形都可以由对角线划分(3)发现勾股定理.为若干个三角形,同时利用面积拼补的方法容让学生知道勾股定理,这就是通常所说的易把三角形化为一个相同知识传授过程,这是一件并不复杂的工作.但学面积的矩形(见图1).生学会自己证明勾

3、股定理也不怎么复杂,因为下面我们有两个自然曾经有人收集过勾股定理有多达270多种不同的问题:的证法.而且每种证明都具有一定的直观性,学问题1:怎样把矩形化生可以通过直接的几何观察找到证明方法.但为等积的正方形(方出于是,如果学生事先不知道勾股定理而要自发的矩).图1发现勾股定理,这却是一件极不简单的工作.正问题2:怎样把两个正方形化为一个等积确的教学观应该把教学重心放在“再发现”这的正方形.个更深层次的教学目标上.结论:如果回答了这两个问题,那么我们就勾股定理具有悠久的历史,我们很难了解能把一个任意的多边形化为等积的正方形.这在数学发展的漫长进程中人们究竟是怎样

4、发现种等积变换说明了三角形、矩形与正方形对一勾股定理的.但是有迹象表明勾股定理的发现般多边形研究的重要作用.与面积的拼补变换具有密切的关系.问题2的答案由图2(a)表示,其中直角三我国最古老的一部数学著作《周髀算经》角形1移到3,2移到4,这样便把两个正方形化上有一段发人深思的记载:昔者周公问于商高为一个等积的正方形.曰:窃闻乎大夫善数也,古者包牺(伏羲)立周进一步观察图2(a),把直角三角形1的三天历度.夫天不可阶而外,地不可得尺寸而度,边分别称为勾、股、弦,则图2说明勾上正方形问数安从出.商高曰:数之法出于圆方,圆出于加股上正方形恰等于弦上正方形.因此等积变

5、·2·重庆《数学教学通讯》2003年2月(上半月)(总第171期)22换可以使我们重新发现勾股定理.2×股×股弦和=股弦和-勾图2(a)图2(b)图3图4实际上两千多年前我国数学家刘徽注释的下证秦九韶公式.如图4,设a上的高h分古代数学著作《九章算术》中就是用这种方法底边a为两部分a1与a2.以a1为股,a2为弦,则22222222证明勾股定理的.刘徽在“股章”第3题注中说:勾=a2-a1=(b-h)-(c-h)=b-222“勾自乘为朱方(红色正方形),股自乘为青方2a-(b-c)2c.由刘徽公式a2=,S=(青色正方形),令出入相补,各从其类.因就其2a121

6、221222122余不移动也,合成弦方之幂.”刘徽的证明正是(ha)=ah=a(c-a)=[ac-2444图2(b)所表示的等积变换.《九章算术》中称这a2+c2-b22()].种等积变换为出入相补原理.(参见《中国数学2史论文集》(二),第19～28页,沈康身文“勾股4面积法——一种普遍适用的几何方法术新议”,吴文俊主编.济南:山东教育出版社,1986).出入相补是一种面积变换法,其方法的适用性不胜枚举.如果把等积变换法改变为更为3进一步探究——秦九韶公式(海伦公式)一般的面积计算法,则可能应用于更广泛的几出入相补法是一个具有广泛应用的方法.何问题.张景中教授

7、在其一系列数学教育著作南宋数学家秦九韶在其著作《数书九章》卷5中中以面积法为基础建立了完整的初等几何体提出利用三角形三边求面积的公式.把三角形系.下面仅以初等几何中美妙的“蝴蝶定理”为三边按长度分别称为大斜(a),中斜(b),小斜例,说明面积法的绝妙之处.(c).则三角形面积S有公式蝴蝶定理一个圆内1a2+c2-b2有三条弦AB、CD、EF交于2222S=[ac-()]42圆内一点O,DE与CF截不难发现这一公式相当于三角形面积的海AB于G、H(图5).如果O伦公式平分AB,则O也平分GH.2222221987年4ac-(a+c-b)L.Bankoff发S==4

8、表于美国Mathemat