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1、《数学教学通讯》年第期总第期重庆数学探究漫谈之三图形在数学思维中的作用西南师范大学张广祥,数学思维的特点是它的抽象性抽象的概那么什么是思维活动的工具呢皮亚杰认“”念通常是以图像的形式储存和呈现的因此数为图式是思维活动建构的一种心学思维活动在大多数场合都以图像的组合和变理活动图式是一种模式化的图形同化与调节,对图,换的方式来实现像的恰当应用必然有助两种过程作用于心理图式同化不改变原有的于数学创造性思维的发生图式,调节使原有图式发生变化和创新,以适应“
2、爱因斯坦在谈到他的思维过程时说在我外界环境皮亚杰《发生认识论原理》中译者,的思维机构中书面的或口头的文字似乎不起序第页」任何作用作为思想元素的心理的东西是一些几何图形是一种图式化的数学对象,数学记号和有一定明晰程度的图像,它们可以由我符号是一种文字化的图形数学家希尔伯特说随意地再生和组合这种组合活动似乎是创造“新符号必须服从于新概念我们用这样的方式,来,性思维的主要形式它进行在可以传达给别人选择这些符号使它们会令人想到曾经是形的由文字或别的记号建立起来的任何逻辑结构成新概念的缘由的那种现象这样,几
3、何图形就之前上述的这些元素就我来说是视觉的,有时是直观空间的帮助记忆的符号,所有数学家正也是动觉的通用的文字或其它记号只有第二是这样来使用它们的谁不会用同一直线上的,三点配上不等式‘‘之间’这个阶段才能费劲地找出来此时上述的联想活动来作为,已经充分建立而且可以随意地再生出概念的几何图形呢当需要证明一条关于函数来”〔《心理学纲要》,转引自黄希庭著连续性或聚点存在的困难定理时,谁不会使用《普通心理学》,第页甘肃人民出版社,一个套一个的线段或矩形图像呢谁能够完全年出版〕不
4、使用三角形、带中心的圆或由三根互相垂直人,的轴组成的坐标架这样一些图形呢们一般都认为语言是思维的重要基础谁又会放,、、但是心理学家皮亚杰否定这一观点他认为语弃在微分几何微分方程变分学基础以及其它,思,的纯数学分支中起着如此重要作用的向量场图言仅仅是概念的表达形式维本身特别是高“、”级形式的思维并不依赖于语言他说人们发示法或曲线曲线族及其包络图形呢,,现在聋哑儿童或聋哑成人身上思维的许多高《数学问题年巴黎国际数学家,—,级形式很少或并不显得贫乏显然这个思维着代表大会上的讲演》转
5、引自邓东皋等编选《数的人只具有很少的词汇和最少量的句法⋯⋯学与文化》第一页,北京大学出版社,这些概念不等同于用来表达它们的语言陈述年出版,,这是从下述事实得到证实的即在一些由于脑几何图形是数学思维活动的基础也是数,学观察与实验的基本出发点几何图形对数学损伤而语言受损坏的病例中病人仍然能解决,相当复杂的问题尽管人只是具体条件下才能思维能发挥以下作用做到,’皮亚杰《发生认识论原理》英译者序,使抽象思维具体化,把思维活动变成,,第页中译本王宪锢译商务印书馆年可操作的数学
6、演算,出版〕使复杂的思路简洁直观让思维活动··重庆《数学教学通讯》年第期总第期快捷可行探究问题求出边形数的一般表达借助于图形的变换使思维动态化式,下面我们以若干数学探究的实例说明图形若把。也作为三角形数证明每个正在数学探究中的关键作用整数都可表为三个三角形数之和例毕达哥拉斯多边形数例勾股数问题由,本例证将说明几何图形的变换可以转化为于公度的观念毕氏学派关心边长为整一种抽,,象的代数演算成为数学证明的有力工数的直角三角形我们把这样的直角三角形三具边长称
7、为勾股数求勾股数相当于求不定方程公元前,毕达哥拉斯时代年数学是以尸十少一尸的整数解比较下面三种不同解,整数为基础的对几何量的刻划也是利用整数法为工具,他们认为两个量的比最终可以归结为解法纯代数法,求,互素的解,,,两个整数的比这种观念当然是以量的可公度二不可同为奇数否则因奇数的平方除,,,性为前提毕氏学派把数学看成真实物质对象余于是尸少除余但偶因而整除的终极组成部分,认为数与组成物质的终极成扩,矛盾因此,一奇一偶不妨设二偶,奇“”分原子是一样的万物皆数是
8、毕氏学派的哲,兰土三二⋯卫,,这样要一但二互素学基础‘”,“毕达,一也互素于是平方数哥拉斯利用几何图形来研究数用下丢乙面方法定义多边形数,十两个互素因子也是平方数即·,三角‘’△△应告二卫二因此一,夕一月是“一形数,夕“是任何互素的整数与一正方解法,口团剔坐标法先求形数方程
