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《观察与想象---数学探究漫谈之二》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、《数学教学通讯》‘年第期总第期重庆数学探究漫谈之二又贝察与想霖西南师范大学张广祥,形态是数学数学探究是一项实践性极强的思维活动通向外在世界的桥梁当代著名数,,培养创造性能力的根本途径是实践成功的探学家指出现代数学与传统数学的究差别更多的是在方式上而不是在实质上本世活动会给实践者提供有用的切身体会我们把数学探究的基本过程归结于观察与纪的数学在很大程度上是在实质上具有的几何,,想象这是支撑创造性思维活动的两个主要方困难作斗争这些困难是由于研究高维问题而
2、“面著名数学家埃米特说无论在哪一个知识领产生的几何直观仍然是领悟数学的最有效的,,域要想逼真地描述发明所遵循的方法通常是渠道应当在各级学校尽可能广泛地利用几何,,困难的但是对于数学家的思维过程却存在一思想访问记载《数学译林》!种简单的看法它已为科学历史广泛证实在数年第期,,“”学家的思维过程中观察占有重要的地位并且下面我们以几何量的公度问题为例说”’‘《选集》起着巨大的作用第四明对几何图形的观察与想象是数学发现的一个有效卷途径,、早在毕达哥拉斯时
3、代古希腊数学家就发现想象过程是一种思想实验的过程像物理,口,化学等真正的实验科学一样数学创造也需要了不可公度的几何量在欧多克斯经历一个尝试与检验的实验过程思想实验过公元前之前的古希腊数学,无论是,,“程中的观察不仅仅是对研究对象纯粹被动的感几何还是代数都是以公度为基础的因此不,”知而是对存在物之间关系和结构的洞察公度问题在当时成为一个巨大的难题引起了思想实验区别于常规思维的重要特数学家的关注点是借助科学思在谈到“不公度”问题时,几乎所有的数学经验所产
4、生的理性的想象力想实验过程中的观察与观察者内心的推理过程著作都认为最初的发现是正方形边长与对角线,,交互发生作用观察者在观察过程中不断形成不可公度性其证明大体都依赖下面的代数途对数学结构的径假定正方形边长为,对角线为,则由毕达和谐性规则的某种预料和猜测、观察者的注意力可能集中到事物的某一个侧哥拉斯定理勾股定理一夕如果可公,、。,“”度那未取适当的公度单位后都是单位长面这样更有助于发现产生,、,在大多数场合数学探究中的观察对象是几的整数倍不妨就用表示相应的整数而且,,可以假定。
5、与最大公因数是这样由等式何图形从某种意义上说数学对象的几何呈现重庆《数学教学通讯》年第期总第期,。,。、一夕知是偶数反过来也是偶数与到一般正边形的边长与对角线公度问题互素,矛盾为了显示几何途径的普适性我们再以正八边形边与对角线公度性为例作一示范正八但是美国加州大学一位数学家提出毕达哥,拉斯时代最先发现的不公度量是关于正五边形边形有三种不同类型的对角线我们现在只选,的对角线与边而不是关于正方形的对角线与取其中一种加以讨论把这种间隔条边的对“正方形不公度问题”
6、边考虑到纯粹依赖于代角线简称次对角线,数运算而事实上毕达哥拉斯时代的代数运算定理正八边形的次·“”还远远地不像现在所想象的符号演算那么对角线与边不可公度“正五边形不公度问题”简洁再看看下面则纯证明通过简单的几何,,匕止、粹依赖于几何途径因此在这个意义上说加州观察有以下一系列等式羁少人,,大学这位数学家的推测是有根据的正五,定理边形边长与对角线不可公度,证明几何方法设已一,。,,,知正五边形为边
7、长其中分别是正八边形的次对角,,对角线的对角线围成线长与边长是由的全体次对角线围成,,,。,另一个正五边形边长边长。会随二全夕的正八边形等意义相同,对角线如图数学探究中的观察或思想实验的对象也不,,,,观察姚仅仅局限于几何图形代数式甚至于纯粹的数姚或数据也常常作为数学观察的重要对象数,观察学家往往通过观察来激发创造的灵感,,观察由‘得由按同样方法得更下面我们以一位数学家
8、的亲身经历为例说·,,明数学家的观察怎样把一个貌似简单的问题上小的五边形由得⋯这一过程无穷无,,。,,升为一项富有探究价值的思考尽不可终止因此不可公度尸。是一位当代著名的计算数几何途径的极大优势还在于上面的方法可,论家是大数分解二次筛法的创始人能推广到更一般的正多边形对角线与边长的公,“回忆中学时代曾参加一次数学竞度问题我们不难提出下面的探究问题供读者
