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1、《数学教学通讯》年第期总第期重庆正在研制的《高中数学课程标准》增加了数学探究专题,编者按对此应如何认识和把握我们特约“”,请参与标准拟定的西南师范大学数学系张广祥教授开设《数学探究漫谈》专栏供广大读者参考数学探究漫谈之一成跪与证明西南师范大学张广祥,发数学是一门充满了发现与证明的学科代数学开启了一扇希望的大门现与证明给数学的发展注人了无穷的生命力与实验科学一样,数学发现的过程也是归,,要、由于历史的积淀当代数学中存在数以千计的纳性的求人们从反复出现的个别的现象中著名数学难题有些数学难题表面上看起来甚寻找出本质的
2、规律但是数学发现不停留在归,、至并不比小学生教科书中的题目更难理解,纳步骤它最终要求以严密精确的逻辑证明作但,要为确认真理的标志这一点是数学与其它学科解决它却极端困难例如这个等式说明恰好是它的各因子本身除外的一个根本区别每一个稍具数学常识的人都之和十也懂得即使你能证明一万个具体的三角形内角和一具有同样的性质但是就在这种普通得不能再普通的现象等于二,也不能由此确认“三角形内角和为砂这,个定理成立定理的证明必须遵循严密的逻辑中数学家却提出下面的间题是否存在一个奇数具有上面的性质自从毕达哥拉斯时代至今
3、演绎形式从发现一个数学事实到确证这个数,。。年来人类还无法解答这个难题既没有发学定理也同样可能经历漫长的曲折过程,一现反例也无法证明反例不存在长期以来数学年前法国数学家费马尸发现时任一个正整数以其特有的极具吸引力的问题吸引着一代又一次幕不能表为另代的数学家探究解开迷团的途径外两个正整数的次幂之和,后来人们把这一,发现与证明是数学探究的两个重要方面断言简称为费马大定理但是直到年这一定理才最后被美籍数学家!,科学研究的根本目的在于发现客观世界的内在证明发现规律与其它学科一样,数学
4、中的重大发现常常与证明之间相隔三个半世纪要经历漫长的探索过程数学发现与证明是数学产生的两个不可或,年意大利数学家发现了缺的环节没有发现就没有证明反过来没有证,。次方程的求根公式年之后的学生明则任何发现就无法获得最终确认但是传统,发现了次方程的求根公式但是的数学教学过程重证明而轻发现这给教学带,次方程的求解问题经历了大致年时间直来弊端学习的根本目的是发展学习者自身的到年岁的挪威青年数学家才探究与解决问题的能力,使学习者成为知识的第一次证明了一般次方程不存在根式
5、解法发现者而不是被动的接受者数学探究应该贯年间经历了包括大数学家欧拉、高斯、拉格穿于教学活动的每一个环节,最下面以“三角形内角和为砂这个看似简单朗日等在内的众多数学家的艰辛探索过程终解决方程根式解问题的人是一位天才的法国的数学定理的学习为例来说明数学探究的各种,中学生伽罗华一!伽罗华可能性说明探究怎样导致发现要证明三角形内角和定理并不困难,为了彻底解决这一问题而创建的群论方法为现但是··重庆。。《数学教学通讯》年第期总第期探究式教学或探究性学习要求从这一基础定理出发进一步发现更多的数学事实或者发
6、现这一定理与其它数学结构的关系“三角形数学家陈省身发现外角和为砂“三角形这个事实比内角和为砂更为本质三角形外角和定理是一类更为广泛的数学现象的一个特例首先我们不难把三角形外角和定理图推广为了一般曲面上闭曲线方向改变量的陈氏类定理任意多边形外角和为几定理,这一定理被称为高斯一别耐一陈省身定理中的多边形既包括凸多边形也包括凹,这是陈省身后来研究工作的出发点公式,见图多边形三角形内角和定理还有另外一个有价值的发展方向,计算简单多面体平面角的和,公习式二二一二一习、、、其中分别是多面体顶点数边数与面、,数特别地有
7、尸二这就是著名的欧,拉公式进一步如果把多面体的顶点边与面公图图、、,式看成维数为。的几何构形则犷一定理任意简单闭曲线切线方向的改变,户是多面体构形维的重要几何特征量量之和为汀见图称之为欧拉特征欧拉特征是空间曲面分类的乙十艺艺十匕十匕十乙‘二重要依据在这个意义上三角形内角和定理仅外角和定理还可以推广到空间的情形仅是各种几何构形特征的一个特殊情形教学定理多面角截面上闭折线的方向改变过程中的适当探究可以把数学发现与数学证明量之和为多面角的各平面角之和结合起来,并将可能把学习者引导到一个富有如图
8、所示截面召在点处的方向改想象力的学习环境
