欧拉线的发现与证明

《欧拉线的发现与证明》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、欧拉线的发现与证明彭翕成pxc417@126.com武汉华中师范大学国家数字化学习工程技术研究中心430079读初中的时候，偶然在一本课外书上看到了欧拉线：如图1，任意三角形的外心O、重心G、垂心H三点共线（此线被称为欧拉线），并且。当时觉得很有意思，希望记下来，反复好几次，都没记住，经常把三个点的位置记错，甚至有时候还将内心也扯进来了。无意中想到，既然是对任意三角形成立，那么对直角三角形也应该成立，于是便得到图2，，垂心H与点B重合，外心O则是斜边AC的中点，此时欧拉线成为斜边上的中线，显然有成立。从此便再也没有记错。图1图2后来，笔者甚至想，当初欧拉发现欧拉线，是不是也是先发现直角

2、三角形中的欧拉线，再推广到一般三角形中去呢？就好像毕达哥拉斯先是发现等腰直角三角形满足勾股定理，再推广到一般直角三角形中去。对欧拉线是如何被发现的，笔者一直充满好奇；但查阅了很多资料，未果。在《100个著名初等数学问题——历史和解》中，说欧拉线定理是欧拉一篇论文的成果之一,脚注为：“Solutiofacilisproblematumquorumdamgeometricorumdifficillimorum”,NovicommentariiAcademiaescientiarumimperialisPetropolitanae(adannum1765)，并给出下面这个巧妙证明。如图3，设

3、M为边AB中点，S为重心，则；设U为外心，延长US到SO，使得，并连接OC；根据这两个等式，可判断，于是，即；或者以文字来表达：连接点O和三角形一顶点的直线与三角形这一顶点的对边垂直，因此连线是三角形的一个高。所以三高必然都通过点O，点O就是三角形的垂心。欧拉线定理得证。图3欧拉的证明是如此巧妙，比起一般资料上的构造外接圆和平行四边形的证法，要简捷很多。那欧拉线定理到底是怎么被发现的呢？感谢网络的发达，笔者终于找到了答案。《美国数学月刊》刊登过EdSandifer先生一系列关于欧拉解决问题的文章：HowEulerDidIt？其中就有一篇关于欧拉线（Eulerline）的。而在欧拉的一本

4、传记《EulerTheMasterofUsAll》中，也同样记录了欧拉线被发现的过程。在欧拉（1707-1783）之前，三角形五心很早就被发现，它们各自的性质已经被研究的很透彻了。那五心之间有何联系呢？还很少有人研究，更确切的说，应该是很少有人想到去研究。那为什么欧拉会想到去研究这些“心”之间的联系呢？说来也是机缘巧合。欧拉对海伦公式很有兴趣，给出了好几种巧妙证明。在研究海伦公式之后，他想：三条边能够唯一确定三角形，那么三角形的相关性质也应该可以由三边来表示，譬如面积就可以由海伦公式来确定。能否利用三角形三边来研究三角形的一些特殊点呢。三角形中最特殊的点莫过于三角形的重心、垂心、外心、

5、内心了。（注：文献中没有表明欧拉在此处研究过旁心，可能是因为旁心在三角形外部，且有三个。）于是，欧拉运用刚刚研究海伦公式的结论，结合当时还没被广泛使用的坐标思想（当时数学界还是认为欧式几何比解析几何更美妙），开始了以下的探索。用表示面积，设，则由海伦公式可得，则（注意：此结论在后面反复用到）。如图4，由得，同理；而，由得。所以垂心E的坐标是：。图4图5如图5，R、L分别是AB、BC上中点，AL交CR于F，C、F在AB上射影为P、Q，则；由得，所以重心F的坐标是：。图6如图6，HR、HD分别是AB、AC上中垂线，AM是BC上的高，易得，，注意到，易得，因此，所以外心H的坐标是：。至此，欧

6、拉建立坐标系，利用三边边长表示了垂心E、重心F、外心H的坐标分别是：，，。但求出这三个坐标又有什么用呢？丝毫看不出垂心、重心、外心之间有何关系。欧拉继续前进着，靠着他那天才般的计算能力。而我们后来者重新来走欧拉这条艰辛的道路，也难免不倒吸一口凉气。，，。至此，欧拉发现：，，因此得出结论：如图7，△ABC的垂心E、重心F、外心H三点共线，且。图7以上就是欧拉发现、证明欧拉线的过程。这一过程，在今天看来，确实有点繁琐。要强调的是，上文还省略了欧拉走过的弯路，就是欧拉也曾用类似的方法计算过三角形的内心，却没有发现。发现一条数学性质是不容易的。有时发现了某性质，却长时间得不到证明，这种事情在数

7、学史上也是常有的。而欧拉线的发现与证明，两者是合二为一的。尽管欧拉线的发现并不像阿基米德发现浮力定律那样具有传奇色彩，给出的证明，我们现代人也会嫌其繁琐不再使用了，但这一史实是给我们很多启发。一：数学性质的发现，并不是单纯地依靠逻辑推理。很多时候是源于一个简单的想法，然后尝试着去探索。二：探索过程中，难免会走弯路，甚至会感觉前面没有路了。要坚持，不能轻言放弃。即使是数学大师的探索，在后人眼里，可能都是笨拙的。三：练好数学基本功。即使是在计算机高