三角形的五心欧拉线的相关知识及证明

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1、三角形的五心欧拉点：三个顶点到垂心连线的中点，又称费尔巴哈点。欧拉圆：又称“九点圆”，即3个欧拉点、三边中点和三高垂足九点共圆。欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。证明：作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点G’　　∵BD是直径　　∴∠BAD、∠BCD是直角　　∴AD⊥AB，DC⊥BC　　∵CH⊥AB，AH⊥BC　　∴DA‖CH，DC‖AH　　∴四边形ADCH是平

2、行四边形　　∴AH=DC　　∵M是BC的中点，O是BD的中点　　∴OM=1/2DC　　∴OM=1/2AH　　∵OM‖AH　　∴△OMG’∽△HAG’　　∴AG’/MG’=AH/MO=2/1　　∴G’是△ABC的重心　　∴G与G’重合∴O、G、H三点在同一条直线上垂心：已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F　　求证：CF⊥AB　　证明：　　连接DE　　∵∠ADB=∠AEB=90度　　∴A、B、C、D到AB中点距离相等　　∴A、B、D、E四点共圆（以AB

3、为直径的圆）　　同理C、D、O、E到OC中点距离相等　　∴C、D、O、E四点共圆（以OC为直径的圆）　　∴∠ACF=∠ADE=∠ABE　　又∵∠ABE+∠BAC=90度　　∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB重心：已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。求证：F为AB中点。证明：根据燕尾定理，S△AOB=S△AOC，又S△AOB=S△BOC，∴S△AOC=S△BOC，再应用燕尾定理即得AF=BF外心：已知：有一△ABC，F是AB中点，E是AC中点

4、FO垂直AB，EO垂直AC。证明:AO=BO=CO解：在△AFO与△BFO中AF=BFFO=FO∠AFO=∠BFO=90°(垂直平分线)∴△AOF全等于△FOB(SAS)∴AO=BO(两个三角形全等,三边对应等)在△AOE与△ECO中AE=ECEO=EO∠AEO=∠CEO(垂直平分线)∴△AOE全等于△COE(SAS)∴AO=CO(两个三角形全等,三边对应等)∵AO=BO(两个三角形全等,三边对应等)又∵AO=CO(两个三角形全等,三边对应等)∴AO=BO=CO即O为△ABC的外接圆的圆心内心有

5、一△ABC，AO,BO为角平分线，求证OC为角平分线。自O点作三边的垂线交三边于D,M,N,则OD=OM=ON,连接OC,则OC平分∠C,所以三角形三条角平分线交于一点。旁心证明:EO=FO=DO在△ADO与△AFO中:∠AFO=∠ADO∠DAO=∠FAO(角平分线)　　AO=AO(公共边)　　∴△ADO与△AFO全等　　∴DO=FO(两个三角形全等,三边对应等)　　在△FCO与△CEO中:　　∠CFO=∠ACEO　　∠ECO=∠FCO(角平分线)　　CO=CO(公共边)　　∴△FCO与△CEO

6、全等　　∴EO=FO(两个三角形全等,三边对应等)　　∵EO=FO(两个三角形全等,三边对应等)　　又∵EO=DO(两个三角形全等,三边对应等)　　∴EO=FO=DO