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《(西姆松定理-欧拉线-九点圆)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、西姆松(Simson)定理西姆松定理说明过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）定理定义：（1）称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。（2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。（3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。（4）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。 西姆松定理的逆定理若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。 相关的结果
2、有： （1）称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。 （2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。 （3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。 （4）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。证明 证明一：△ABC外接圆上有点P，且PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，PD⊥BC于D，分别连DE、DF. 易证P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分别共圆，于是∠FDP=∠ACP①，（∵都是∠ABP的补角）且∠
3、PDE=∠PCE ②而∠ACP+∠PCE=180° ③∴∠FDP+∠PDE=180° ④即F、D、E共线.反之，当F、D、E共线时，由④→②→③→①可见A、B、P、C共圆. 证明二：如图，若L、M、N三点共线，连结BP，CP，则因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C分别四点共圆，有 ∠PBN=∠PLN=∠PLM=∠PCM. 故A、B、P、C四点共圆。 若A、B、P、C四点共圆，则∠PBN=∠PCM。因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四点
4、共圆，有 ∠PBN=∠PLN=∠PCM=∠PLM.故L、M、N三点共线。相关性质的证明：1.M为线段PH的中点连AH延长线交圆于G。证明：连PG交西姆松线与R,BC于Q如图连其他相关线段AH⊥BC,PF⊥BC==>AG//PF==>∠1=∠2A.G.C.P共圆==>∠2=∠3PE⊥AC,PF⊥BC==>P.E.F.C共圆==>∠3=∠4==>∠1=∠4PF⊥BC==>PR=RQBH⊥AC,AH⊥BC==>∠5=∠6A.B.G.C共圆==>∠6=∠7==>∠5=∠7AG⊥BC==>BC垂直平分GH==>∠8=∠2=∠4∠8+∠9=90,∠1
5、0+∠4=90==>∠9=∠10==>HQ//DF==>PM=MH欧拉线莱昂哈德·欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。如右图，欧拉线（图中的红线）是指过三角形的垂心（蓝）、外心（绿）、重心（黄）和欧拉圆圆心（红点）的一条直线。注：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆，称为欧拉圆。 欧拉线的证法1： 作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、C
6、D、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点G’ ∵BD是直径 ∴∠BAD、∠BCD是直角 ∴AD⊥AB，DC⊥BC ∵CH⊥AB，AH⊥BC ∴DA‖CH，DC‖AH ∴四边形ADCH是平行四边形 ∴AH=DC ∵M是BC的中点，O是BD的中点 ∴OM=1/2DC ∴OM=1/2AH ∵OM‖AH ∴△OMG’∽△HAG’ ∴AG/GM=2/1 ∴G’是△ABC的重心 ∴G与G’重合 ∴O、G、H三点在同一条直线上 如果使用向量,证明过程可以极大的简化,运用向量中的坐标法,分别求出O、G、H三点的坐
7、标即可. 欧拉线的证法2： 设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心。连接AG并延长交BC于D,则可知D为BC中点。 连接OD，又因为O为外心，所以OD⊥BC。连接AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以AE⊥BC。所以OD//AE，有∠ODA=∠EAD。由于G为重心，则GA:GD=2:1。 连接CG并延长交BA于F,则可知D为BC中点。同理，OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF 连接FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EA
8、D，相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以OD:HA=GA:GD=2:1 又∠O
