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《数学奥赛-2(西姆松定理-欧拉线-九点圆).doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、西姆松(Simson)定理西姆松定理说明 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线,则三垂足共线。(此线常称为西姆松线) 西姆松定理的逆定理若一点在三角形三边所在直线上的射影共线,则该点在此三角形的外接圆上。 相关的结果有: (1)称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点,且这点在九点圆上。 (2)两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。 (3)若两个三角形的外接圆相同,这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角,跟P的位置无关。 (4)从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件
2、是该点落在三角形的外接圆上。证明 证明一:△ABC外接圆上有点P,且PE⊥AC于E,PF⊥AB于F,PD⊥BC于D,分别连DE、DF. 易证P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分别共圆,于是∠FDP=∠ACP①,(∵都是∠ABP的补角)且∠PDE=∠PCE ②而∠ACP+∠PCE=180° ③∴∠FDP+∠PDE=180° ④即F、D、E共线.反之,当F、D、E共线时,由④→②→③→①可见A、B、P、C共圆. 证明二:如图,若L、M、N三点共线,连结BP,CP,则因PL垂直于BC,PM垂直于AC,PN垂直
3、于AB,有B、P、L、N和M、P、L、C分别四点共圆,有 ∠PBN=∠PLN=∠PLM=∠PCM. 故A、B、P、C四点共圆。 若A、B、P、C四点共圆,则∠PBN=∠PCM。因PL垂直于BC,PM垂直于AC,PN垂直于AB,有B、P、L、N和M、P、L、C四点共圆,有 ∠PBN=∠PLN=∠PCM=∠PLM. 故L、M、N三点共线。欧拉线 三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线。 莱昂哈德·欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理:三角形的重心在欧
4、拉线上,即三角形的重心、垂心和外心共线。他证明了在任意三角形中,以上四点共线。欧拉线上的四点中,九点圆圆心到垂心和外心的距离相等,而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。 欧拉线的证法1: 作△ABC的外接圆,连结并延长BO,交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM,设AM交OH于点G’ ∵BD是直径 ∴∠BAD、∠BCD是直角 ∴AD⊥AB,DC⊥BC ∵CH⊥AB,AH⊥BC ∴DA‖CH,DC‖AH ∴四边形ADCH是平行四边形 ∴AH=DC ∵M是BC的中点,O是BD的中点
5、 ∴OM=1/2DC ∴OM=1/2AH ∵OM‖AH ∴△OMG’∽△HAG’ ∴AG/GM=2/1 ∴G’是△ABC的重心 ∴G与G’重合 ∴O、G、H三点在同一条直线上 如果使用向量,证明过程可以极大的简化,运用向量中的坐标法,分别求出OGH三点的坐标即可. 欧拉线的证法2: 设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心。连接AG并延长交BC于D,则可知D为BC中点。 连接OD,又因为O为外心,所以OD⊥BC。连接AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以AE⊥BC。所以OD//AE,有∠ODA=∠E
6、AD。由于G为重心,则GA:GD=2:1。 连接CG并延长交BA于F,则可知D为BC中点。同理,OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF 连接FD,有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC,所以∠DFC=∠FCA,∠FDA=∠CAD,又∠OFC=∠MCF,∠ODA=∠EAD,相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2;又GA:GD=2:1所以OD:HA=GA:GD=2:1 又∠ODA=∠EAD,所以△OGD∽△HGA。所以∠OGD=∠AGH,又连
7、接AG并延长,所以∠AGH+∠DGH=180°,所以∠OGD+∠DGH=180°。即O、G、H三点共线。 欧拉线的证法3 设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心. 则向量OH=向量OA+向量+OB+向量OC 向量OG=(向量OA+向量OB+向量OC)/3, 向量OG*3=向量OH 所以O、G、H三点共线九点共圆定理 九点共圆定理 三角形三边的中点,三条高的垂足,垂心与各顶点连线的中点这9点共圆. 九点圆是几何学史上的一个著名问题,最早提出九点圆的是英国的培亚敏.俾几〔BenjaminBeven〕.第一
8、个完全证明此定理的是法国数学家彭赛列〔1788-1867〕.一位高中教师费尔巴哈〔1800-1834〕曾研究了九点圆,他的证明发表在1822年的《直边三角形的一些特殊点的性质》一文里,文中费尔巴哈还获得了九点圆的一些重要性质〔如下列的性质3〕,故有人称九点圆为费尔巴哈圆.