托勒密定理塞瓦定理梅涅劳斯定理西姆松定理.doc

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1、托勒密定理内容：指圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。证明：在任意凸四边形ABCD中(如右图)，作△ABE使∠BAE=∠CAD∠ABE=∠ACD,连接DE.则△ABE∽△ACD　∴BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD(1)由△ABE∽△ACD得AD/AC=AE/AB,又∠BAC=∠EAD,　∴△ABC∽△AED.　BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD(2)　(1)+(2),得　AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC　又∵BE+ED≥BD∴AB×CD+AD×BC≥

2、AC×BD塞瓦定理　　在△ABC内任取一点O，直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=1所以CD、AE、BF交于一点用同一法证点D,E,F分别为三角形ABC三边BC,AC,AB上的点，若AF/BF*BD/DC*CE/AE=1，则AD,BE,CF三点共线逆命题证明证明：设BE,CF交与点O，AO交BC于点P。则由赛瓦定理可知，AF/BF*BP/PC*CE/AE=1。由已知AF/BF*BD/DC*CE/

3、AE=1知，AF/BF*BP/PC*CE/AE=1=AF/BF*BD/DC*CE/AE。推出BP/PC=BD/DC,所以BD/BC=BP/BC,故BD=BP。所以D点与P点重合。则AD,BE,CF三点共线，命题得证。梅涅劳斯定理如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1。西姆松定理（1

4、）称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。　　（2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。　　（3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。　　（4）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。(5)过三角形垂心的任意直线都是三角形的的西姆松线。