四个重要定理(梅涅劳斯-塞瓦-托勒密-西姆松).pdf

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1、精品平面几何中的四个重要定理梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线）△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R，则P、Q、R共线的充ABPCQAR要条件是1。PCQARBRQBPC塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点）△ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R，则AP、BQ、CR共点的充要条件ABPCQAR是1。PCQARBRQBPC托勒密(Ptolemy)定理四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。CDAB西姆松(Simson)定理（西姆松线）从一点向三

2、角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接A-可编辑-CDEFB精品圆上。例题：1、设AD是△ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。求AFAE2AF证：。EEDFBAEDCBF【分析】CEF截△ABD→1（梅氏定理）EDCBFABDC【评注】也可以添加辅助线证明：过A、B、D之一作CF的平行线。2、过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F，交CB于D。BECF求证：1。EAFA【分析】连结并延长AG交BC于M，则M为BC的中点。BEAGMDDEG截△ABM→1

3、（梅氏定理）EAGMDBCFAGMDDGF截△ACM→1（梅氏定理）FAGMDCBECFGM(DBDC)GM2MD∴===1EAFAAGMD2GMMDAAFFGGEEDBMCDBC-可编辑-精品【评注】梅氏定理3、D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上，ABDAFCE，AD、BE、CF交成△LMN。求S。F△LMNLDCFBEAE【分析】MNBDCACB【评注】梅氏定理4、以△ABC各边为底边向外作相似的等腰△BCE、△CAF、△ABG。求证：AE、BF、CG相交于一点。【分

4、析】AAGGFNMFCBLCBEE【评注】塞瓦定理D5、已知△ABC中，∠B=2∠C。求证：AC2=AB2+ABBC。A-可编辑-CB精品【分析】过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D，连结BD。则CD=DA=AB，AC=BD。由托勒密定理，ACBD=ADBC+CDAB。【评注】托勒密定理6、已知正七边形AAAAAAA。1234567111求证：。（第21届全苏数学竞赛）AAAAAA121314【分析】AA33A2AAA424AA15AA15AA76AA76【评注】托勒密定理A1．△ABC的BC边上的高

5、AD的延长线交外接圆于P，作EDBCPE⊥AB于E，延长ED交AC延长线于F。F求证：BCEF=BFCE+BECF。P【分析】-可编辑-精品【评注】西姆松定理（西姆松线）2．正六边形ABCDEF的对角线AC、CE分别被内分点M、N分成的比为AM：AC=CN：CE=k，且B、M、N共线。求k。（23-IMO-5）【分析】CBCBMMNADDOANFEFE【评注】面积法3．O为△ABC内一点，分别以d、d、d表示O到BC、CA、AB的距离，以R、abcaR、R表示O到A、B、C的距离。bc求证：（1）a·R≥b·

6、d+c·d;abc(2)a·R≥c·d+b·d;abc(3)R+R+R≥2(d+d+d)。abcabc【分析】AAFFOLEEOBDCBDC-可编辑-K精品【评注】面积法4．△ABC中，H、G、O分别为垂心、重心、外心。求证：H、G、O三点共线，且HG=2GO。（欧拉线）【分析】CCHHGGOOABABD【评注】同一法5．△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，BM、BN三等分∠ABC，与AD相交于M、N，延长CM交AB于E。求证：MB//NE。【分析】AANEN4ME5M8BDC17236BDC【评注】对称

7、变换-可编辑-精品6．G是△ABC的重心，以AG为弦作圆切BG于G，延长CG交圆于D。求证：AG2=GCGD。【分析】AADDGGBCBCG'【评注】平移变换7．C是直径AB=2的⊙O上一点，P在△ABC内，若PA+PB+PC的最小值是7，求此时△ABC的面积S。B'【分析】CCP'PPABAB【评注】旋转变换费马点：已知O是△ABC内一点，∠AOB=∠BOC=∠COA=120°；P是△ABC内C'O'CC-可编辑-P'OOP精品任一点，求证：PA+PB+PC≥OA+OB+OC。（O为费马点）【分析】将CR

8、(B,600)C'，OR(B,600)O'，PR(B,600)P'，连结OO'、PP'。则△BOO'、△BPP'都是正三角形。∴OO'=OB，PP'=PB。显然△BO'C'≌△BOC，△BP'C'≌△BPC。由于∠BO'C'=∠BOC=120°=180°-∠BO'O，∴A、O、O'、C'四点共线。∴AP+PP'+P'C'≥AC'=AO+OO'+O'C'，即PA+PB