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《数学奥赛-2(西姆松定理-欧拉线-九点圆).doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、西姆松(Simson)定理西姆松定理说明 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线） 西姆松定理的逆定理若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。 相关的结果有： （1）称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。 （2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。 （3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。 （4）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件
2、是该点落在三角形的外接圆上。证明 证明一：△ABC外接圆上有点P，且PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，PD⊥BC于D，分别连DE、DF. 易证P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分别共圆，于是∠FDP=∠ACP①，（∵都是∠ABP的补角）且∠PDE=∠PCE ②而∠ACP+∠PCE=180° ③∴∠FDP+∠PDE=180° ④即F、D、E共线.反之，当F、D、E共线时，由④→②→③→①可见A、B、P、C共圆. 证明二：如图，若L、M、N三点共线，连结BP，CP，则因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直
3、于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C分别四点共圆，有 ∠PBN=∠PLN=∠PLM=∠PCM. 故A、B、P、C四点共圆。 若A、B、P、C四点共圆，则∠PBN=∠PCM。因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四点共圆，有 ∠PBN=∠PLN=∠PCM=∠PLM. 故L、M、N三点共线。欧拉线 三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。 莱昂哈德·欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧
4、拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。他证明了在任意三角形中，以上四点共线。欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。 欧拉线的证法1： 作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点G’ ∵BD是直径 ∴∠BAD、∠BCD是直角 ∴AD⊥AB，DC⊥BC ∵CH⊥AB，AH⊥BC ∴DA‖CH，DC‖AH ∴四边形ADCH是平行四边形 ∴AH=DC ∵M是BC的中点，O是BD的中点
5、 ∴OM=1/2DC ∴OM=1/2AH ∵OM‖AH ∴△OMG’∽△HAG’ ∴AG/GM=2/1 ∴G’是△ABC的重心 ∴G与G’重合 ∴O、G、H三点在同一条直线上 如果使用向量,证明过程可以极大的简化,运用向量中的坐标法,分别求出OGH三点的坐标即可. 欧拉线的证法2： 设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心。连接AG并延长交BC于D,则可知D为BC中点。 连接OD，又因为O为外心，所以OD⊥BC。连接AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以AE⊥BC。所以OD//AE，有∠ODA=∠E
6、AD。由于G为重心，则GA:GD=2:1。 连接CG并延长交BA于F,则可知D为BC中点。同理，OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF 连接FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以OD:HA=GA:GD=2:1 又∠ODA=∠EAD，所以△OGD∽△HGA。所以∠OGD=∠AGH,又连
7、接AG并延长，所以∠AGH+∠DGH=180°,所以∠OGD+∠DGH=180°。即O、G、H三点共线。 欧拉线的证法3 设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心. 则向量OH=向量OA+向量+OB+向量OC 向量OG=（向量OA+向量OB+向量OC）/3， 向量OG*3=向量OH 所以O、G、H三点共线九点共圆定理 九点共圆定理 三角形三边的中点，三条高的垂足，垂心与各顶点连线的中点这9点共圆. 九点圆是几何学史上的一个著名问题,最早提出九点圆的是英国的培亚敏.俾几〔BenjaminBeven〕.第一
8、个完全证明此定理的是法国数学家彭赛列〔1788-1867〕.一位高中教师费尔巴哈〔1800-1834〕曾研究了九点圆,他的证明发表在1822年的《直边三角形的一些特殊点的性质》一文里,文中费尔巴哈还获得了九点圆的一些重要性质〔如下列的性质3〕,故有人称九点圆为费尔巴哈圆.
