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《怎样寻求恰当的数学问题-----数学探究漫谈之四》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、《数学教学通讯》年第期上总第期重庆数学探究漫谈之四怎样寻求恰当的数学问题西南师范大学张广祥数学探究最重要的,第一步就是怎样寻求关于平方和问题费马还有进一步更为深一个恰当的数学问题观察与想象是数学发现人的思考和探究不难发现,并不是每个整数都,,的实际过程也是寻求数学问题的实际过程一能表为三个整数的平方和就是不能表为三个成功的数学发现者必定是一个成功的数学问个平方和的最小正整数但是要是允许把正整数表为,,题的探寻者四个平方和问题就可能不一样了费马著名数学家中不乏“问题大师”生活在欧的问题是是否每个正整数都能表为四个整数一,。。
2、洲文艺复兴之后的法国数学家费马的平方和呢费马对于整数的这一观察与其说一,,,一“”,,就是一位问题大师是一个问题不如说是一项真正的发现仅仅是古希腊数学家毕达哥拉斯的一个最重大的数学在当时的条件下费马还不能证明这个数学发发现就是,直角三角形的勾股定理这一定理在现年后数学家拉格朗日证明了这一定理,数学中的基础性作用不亚于牛顿万有引力定律定理拉格朗日年每个正整数都能在物理学中的基础性作用毕达哥拉斯时代数表为四个整数的平方和学家的普遍观念认为任何两个相同类型的几何费马关于整数平方和的问题给近代数论研,,量都是可以通约的或可
3、公度因此对于任何究留下了许多宝贵的启发和提示恰当的数学直角三角形都可选取适当的长度单位使三条边问题是数学发展的强大动力,长全为整数这样求出所有的勾股数就相当于数学问题的来源主要有两个方面一方面求出所有的直角三角形而勾股数按定义就是来源,、于经验来源于人们对外在世界的理解疑,方程尸十少一的正整数解也就是将一个整惑与推测牛顿的微积分与牛顿之前天文学家数的平方表为另外两个整数的平方和容易知开普勒、物理学家伽利略对天体运动和抛物体道并不是每个整数的平方都能表为另外两个整运动的观察与轨道计算有密切的关系高斯的数的平方和的例如就不能表为另两个整数曲面几何理论来源于高斯
4、从事大地测量工作所的平方和受到勾股定理的启发,欧拉创立的变分法理论来源费马提出下面受到的各种启发的问题什么样的正整数能表为两个整数的平于对物理运动最短路径的研究还有许多当代费马于年月,、方和呢日在一封写给正在形成的数学分支如小波分析分形几何,一一户介,法国另一位数学家等都来源于人们对外在世界各种现象的观测的信中提出了这一问题直到年后数学家和不断产生的疑问和推测,欧拉证明欧拉才圆满地回答了这一问题了下数学问题的第二个来源是人们对已经发展面的,定理了的数学本身的理性思考来自逻辑想象力的,,定理欧拉年
5、正整数能表为两个巧妙组合这是一类往往对人类智慧充满挑战,整数的平方和当且仅当。的素因性的问题也是数学所特有的充满理念色彩的中形如子方幂的幂指数是偶数问题数学家偏爱这类问题常常是出于理性的··重庆《数学教学通讯》年第期上总第期好奇心是十分重要的,,这后一类问题很多每一个数学领域都有下面我们仍以若干实例说明数学问题的一即使在数论中仅与整数有关的问题就有上千些不同模式和产生这些问题的大致过程个其中有些著名难题经历了数百年甚至二千类比推广问题多,年才得到解决有些问题至今还很难看到解,决的希望例如对已知数学成果作类比和推广这是产生,费二
6、”有价值的数学问题的一个重要途径这种产生马问题方程丫丫一在时,无正整数解问题的方式既具有可模仿性又对研究者的知识水平具有普遍的适应性,这一问题从年费马提出直到例勾股定理的类比推广勾股定理有年才由英国数学家、汀。解决很多,不同的推广形式下面我们仅从等幂关系哥德巴赫猜想大于的偶数都能表为这个角度来探讨勾股定理的类比推广问题两个奇素数之和问题直角三角形的勾股定理是直角三角一于德国数学家“十形边长的平方关系护一产我们的问题是年月日给欧拉的一封信中提出了这一勾股定理中的平方等幂关系能否推广为
7、一般三问题但至今尚未解决角形边长的等幂关系呢,。索数问题把形如二酬的素数称,研究发现这种推广是可能的我们能够证,,,,,咬为费马素数人们已经知道二时明下而的定理,,八是素数但至今不知道是否还存在其它费马定理设三角形三边长分别为、、。且‘,素数钱乃成则,,。,尸一一一的素数称为入么。‘”把形如阿存在实数阴使砂十俨一,‘己,,素数魂年材。在他的著作中列出,,,,,,,,当且仅当满足条件,,,,
