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1、计算方法上机实验指导—、非线性方程求解(一)问题的指出二分法1.方法概要假定/(X)在［a,切上连续,/(«)/(/?)<0口/(兀)在(d,b)内仅有一实根F取区间中点c,若/(c)=0,则c恰为其根，否则，根据0是否成立，可判断出根所属的新的有根子区间(a,c)或(c,b),为节省内存，仍称其为运算重复进行，直到满足精度耍求为止，即lc—Flvb—avg。式中为新的有根子区间的端点。2.计算框图Nowton迭代法1.方法概要兀0为初始猜测,则由递推关系X『X厂嵌产牛逼近解T的迭代序列｛"｝,这个递推公式就是Newton法。当兀。距F较近时，｛%,｝很快收敛于T。
2、但当X。选择不当时，会导致｛兀｝发散。故我们事先规定迭代的最多次数。若超过这个次数，述不收敛，则停止迭代另选初值。2•计算框图(-)目的学握二分法与T-顿法的基本原理及应用(三)要求1.用二分法计算方程2sin%-—=()2在(1,2)内的根的近似值2.用二分法计算方程兀3-x-1=0在(1,1.5)内的根的近似值@=().5><10一5)o3.用牛顿法求下列非线性方程的近似根。①加—1=0Xq—0.5②x3-x-1=0兀0=1③（兀一1尸（2兀一1）=0兀o=0.45x()=0.654.用改进的牛顿法无+i=兀一2心）计算方程（兀一1）2（2兀一1）=（）兀0=0
3、.55的近似根，并与要求3.中的③的结果进行比较。二、Gauuss列主元消去法（—）问题的提出由地一般线性方程组在使用Gauss消去法求解时，从求解过程中可以清楚地看到，若4严=（）,必须施以行交换的手续，才能使消去过程继续下去。有时既使《严工0,但其绝对值很小，由于舍入误差的影响，消去过程也会出现不稳立现象。因此，为使这种不稳定现象发生的可能性减至最小，在施行消去过程时每一步都要选主元素，即要寻找行厂，使Ia；："1=maxIa：""丨i>k并将第厂行与第£行交换，以使此T的当前值（即心…的数值）远人于0。这种列主元消去法的主要步骤如下：1.消元过程对R=l,2,
4、・・・‘一1,做1°选主元，记Iark=maxIaikIi>k若ar,=0,说明方程组系数矩阵奇界，则停止计算，否则进行2。。2°交换4（增广矩阵）的厂,R两行元素5<^akjJ=…,n+l3°计算a.tj=a.-aikakjlakkJ=R+1,…，斤+11.回代过程对k=仏卅一1,・・・,2,1,计算耳=（@.卄1一Xa/」％）j=k-l其计算框图如F：（二）目的1.熟悉Gauss列主元消去法,编出实用程序。2.认识选主元技术的重耍性。3.明确对于哪些系数矩阵A,在求解过程中不需使用选主元技术。（三）要求1.编制程序，川Gauss列主元消去法求解线性方程组Ax=
5、b,并打印结果，其屮_10-823・1(1)A=-13.7124.623,b=2-21.0725.643_3__4-24'_10(2)A=-21710b=3-4109-72.与不选主元的Gauss消去法结果比较并分析原因。三、Runge现象的产生和克服（—）问题的提出在给定〃+1个插值节点和相应的函数值以后构造〃次插值多项式的方法。从余项的表达式看出，插值多项式与被插函数逼近的程度是同分点的数日及位置有关的。能不能说，分点越多，插值多项式对函数的逼近程度越好呢？答案是否定的，在本世纪初Runge指出了这种多项式插值的缺点。什么是Runge现象呢?例：给定函数/w=1
6、1+25?2取等距节点齐=—1+—/（心0,1,・・・,10）,试建立插值多项式0io⑴，并研究它与/⑴的误差。插值多项式的次数为10,用拉格朗口插值公式有10010⑴二》/（K）/=0其中f(xi)=11+25#—1+討*1。（兀一兀0）・・・（兀一兀］）（无一兀+］）・・・（兀一州0）画出它们的图形,从图中可以看出,在［-0.20,0］区间内九）⑴能较好地逼近/（%）,但在其他部分0
7、（）（X）与/（兀）的差异较大，越靠近端点，逼近的效果越差。事实上可以证明,对一这个函数在［-1,1］区间内用〃+1个等距节点作插值多项式血（兀），当”T00时1+25x~必⑴只能
8、在1兀1<0.73内收敛，而在这个区间Z外是发散的，这一现象称为Runge现象。从上面例子看到,在区间上给定等距插值节点，过这些插值节点作拉格朗FI插值多项式,节点不断加密时，构造的插值多项式的次数也不断提高，但是，尽管被插值函数是连续的,高次插值多项式也不一足收敛到相应的被插值函数。解决Runge现象有分段线性插值，三次样条插值等方法。分段线性插值：设在区间［Q,®上，给定”+1插值节点a=兀。v兀］<•••
