哈工大计算方法上机实验指导

《哈工大计算方法上机实验指导》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、计算方法上机实验指导一、非线性方程求解（一）问题的指出二分法1．方法概要假定在上连续，且在内仅有一实根取区间中点，若，则恰为其根，否则，根据是否成立，可判断出根所属的新的有根子区间或，为节省内存，仍称其为。运算重复进行，直到满足精度要求为止，即。式中为新的有根子区间的端点。2．计算框图否否是结束定义，读入输出及开始是Nowton迭代法1．方法概要为初始猜测，则由递推关系产生逼近解的迭代序列，这个递推公式就是Newton法。当距较近时，很快收敛于。但当选择不当时，会导致发散。故我们事先规定迭代的最多次数。若超过这个次数，还不收敛，则停止迭代另选初值。2．计算框图否是否是是定义输入开始

2、输出迭代失败标志输出输出奇异标志结束否（二）目的掌握二分法与牛顿法的基本原理及应用（三）要求1．用二分法计算方程在内的根的近似值2．用二分法计算方程在内的根的近似值。3．用牛顿法求下列非线性方程的近似根。①②③4．用改进的牛顿法计算方程的近似根，并与要求3.中的③的结果进行比较。二、Gauuss列主元消去法（一）问题的提出由地一般线性方程组在使用Gauss消去法求解时，从求解过程中可以清楚地看到，若，必须施以行交换的手续，才能使消去过程继续下去。有时既使，但其绝对值很小，由于舍入误差的影响，消去过程也会出现不稳定现象。因此，为使这种不稳定现象发生的可能性减至最小，在施行消去过程时每

3、一步都要选主元素，即要寻找行，使并将第行与第行交换，以使的当前值（即的数值）远大于0。这种列主元消去法的主要步骤如下：1．消元过程对，做1º选主元，记若，说明方程组系数矩阵奇异，则停止计算，否则进行2º。2º交换（增广矩阵）的两行元素3º计算2．回代过程对，计算其计算框图如下：是否否是开始输入（增广矩阵）交换中两行输出结束（二）目的1．熟悉Gauss列主元消去法，编出实用程序。2．认识选主元技术的重要性。3．明确对于哪些系数矩阵，在求解过程中不需使用选主元技术。（三）要求1．编制程序，用Gauss列主元消去法求解线性方程组，并打印结果，其中（1），（2），2．与不选主元的Gauss

4、消去法结果比较并分析原因。三、Runge现象的产生和克服（一）问题的提出在给定个插值节点和相应的函数值以后构造次插值多项式的方法。从余项的表达式看出，插值多项式与被插函数逼近的程度是同分点的数目及位置有关的。能不能说，分点越多，插值多项式对函数的逼近程度越好呢？答案是否定的，在本世纪初Runge指出了这种多项式插值的缺点。什么是Runge现象呢？例：给定函数取等距节点，试建立插值多项式，并研究它与的误差。插值多项式的次数为10，用拉格朗日插值公式有其中画出它们的图形，从图中可以看出，在区间内能较好地逼近，但在其他部分与的差异较大，越靠近端点，逼近的效果越差。事实上可以证明，对这个函

5、数在区间内用个等距节点作插值多项式，当时只能在内收敛，而在这个区间之外是发散的，这一现象称为Runge现象。从上面例子看到，在区间上给定等距插值节点，过这些插值节点作拉格朗日插值多项式，节点不断加密时，构造的插值多项式的次数也不断提高，但是，尽管被插值函数是连续的，高次插值多项式也不一定收敛到相应的被插值函数。解决Runge现象有分段线性插值，三次样条插值等方法。分段线性插值：设在区间上，给定插值节点和相应的函数值，求作一个插值函数，具有下面性质：（1）（2）在每个小区间上是线性函数。插值函数叫做区间上对数据的分段线性插值函数。三次样条插值给定区间一个分划若函数满足下述两条件：1）

6、在每个小区间上是3次多项式。2）及其直到2阶导数在连续。则称是关于分划的三次样条函数。（二）目的1．深刻认识多项式插值的缺点；2．明确插值的不收敛性怎样克服；3．明确精度与节点、插值方法的关系。（三）要求给定函数，及节点，试用如下插值方法如何克服Runge现象1．用多项式插值计算出下列插值，观察是否会产生Runge现象。2．用下列方法进行计算，并且比较它们克服Runge现象的效果。（1）分段线性插值（2）三次样条函数插值（一），条件为：（3）三次样条函数插值（二），条件为3．编程序，打印结果分析。（1）编写计算程序，调试计算，比较每种插值在插值点上与精确值的误差是多少。（2）同一种

7、插值法，当节点增多时，精度怎样？（3）打印程序、结果，写出实验报告。四、多项式最小二乘法（一）问题的提出对于给定的测量数据设函数分布为特别地，取为多项式形式则根据最小二乘原理，可构造泛函令则可得到法方程求解该方程组，则可得到解，因此可得到数据的最小二乘解（二）目的1．学习使用最小二乘原理2．了解法方程的特性（三）要求用最小二乘方法处理实验数据。并作出的近似分布图。五、龙贝格积分法（一）问题的提出考虑积分欲求其近似值，可以采用如下公式：（复化）梯形公式（复化）辛卜生公式