开放探究型问题

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1、开放探究型问题一、填空题1>(2011年北京四中模拟28)两T不視等的无理数，它们的乘积为有理数，这两个数可以是二、解答题1.在等边MBC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为ABC外一点，且ZMDN=60,ZBDC=120c,BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、CcCNC、间的数量关系及AAMN的周长Q与等边AABC的周长L的关系.图1(I)如图1,图2当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MNZ间的数量关系；此吋纟•=；—L(II)如图2,点

2、M、N边AB、AC上，且当DMHDN时，猜想(I)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；(III)如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=x,则0=(用八L表示).PT与IVN交于点0，Q点的坐标是(一QCT—+3).解：(I)如图1,BM、NC、MNZ间的数屋关系BM+NOMN此吒(II)猜想:结论仍然成立.证明：如图，延长AC至E,使CE=BM,连接DE.•・•BD=CD，且ZBQC=120°./.ZDBC=ZDCB=30°・又ABC是等边三角形，.•・ZMBD=ZN

3、CD=90°.在MBD与ECD中:BM=CE

4、在AB、CA的延长线上吋，若AN=x,2则2xh—L(用x、L表示).—3—解答题1.(2011天一实验学校二模)已知：如图，直线儿歹=丄兀+也经过点M(0,丄),一组抛物线的顶点d(l,必),B2(2,y2),伏(3,儿)，…，B,©>;)(/?为正•整数)依次是直线/上的点，这组抛物线与兀轴正半轴的交点依次是：Ai(xi,0),A2(x2,0),A3(x3,0),……An+1(xn+b0)(n为正整数),设x}=d(O

5、的代数式表示)(3)定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”.探究：当d(Ovdvl)的人小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，请你求出相应的d的值.答案：(l)VM(O,丄)在直线y=-x+b上,434⑵由⑴得y*冷,・・・Bg)在直线1上，.••当E时,好1+打/.Bid,—)12又・・W(d,0)A2(2-d,0)77设y"d)(S),把BU于弋入得：・・・过乩B,A2三点的抛物线解析式为尸而〒(7(5)77(或写出顶点式为

6、尸-7(xT)2+—)12(d-1尸12⑶存在美丽抛物线。山抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必定是以抛物线为顶点为总角顶点的等腰直角三角形，此等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，乂・・・o〈d〈i,・••等腰直角三角形斜边的长小于2,・••等腰肓角三如形斜边上的高必小于1,即抛物线的顶点的纵坐标必小于1。117•:当x=l时,yi=—X1+—•二一<1;■3412当x=2时，y2=—X2+丄二—〈I"3412当x=3时，y2=—X3+—=1—>1344・・・美丽抛物线的顶点只有BD.一7

7、75①若B为顶点，由Bi(l,一),则d二1-一二一121212②若兔为顶点，由际2,詈),则d=l-1112综上所述，d的值为右或昔时,存在美丽抛物线。1.(2011年杭州市西湖区模拟)(木题12分)矩形OABC在肓和坐标系屮的位置如图所示,3A、C两点的坐标分别为A(6,0)、C(0,3),直线y=与BC边和交于点Q.4(1)若抛物线y=axTCD二4,003,OD二洁+3’=5.sinZCDO二色，过A作AH丄0D于H,5318则AH二OAsinZDOA二6X-=—=3.6,.・.当直线0D

8、与0A相切时,r=3.6.8分55(3)设抛物线的对称轴与兀轴交于点Q],则点斫符合条件.・・・CB〃OA,・・・ZQ]OM二ZODC,Z.RtAQjOM<^RtACDO.•.•对称轴兀二_—=3,・・.Q]点的坐标为Q】(3,0).2a+bx(a^0)经过D、A两点，试确定此抛物线的表达式；(2)若以点A为圆心的OA与肓线OQ相切，试求OA的半径；(3)设⑴中抛物线的对称轴与直线OD交于点M,在对称轴上是否存在点0,以Q、0、M为顶点的三角形与AOCD相似，若存在，试求出符合条件