2019-2020年高中第二册(下A)数学直线与平面垂直的判定和性质(III)

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1、2019-2020年高中第二册(下A)数学直线与平面垂直的判定和性质(III)教学目标：掌握三垂线定理及其逆定理，并能运用它们解决简单问题．教具准备：三角板．教学过程：［设置情境］教师提问：平面的一条斜线在平面内是否一定有射影？如果有，有几条？怎么确定？学生对前两个问题能正确回答，如何确定，他们不一定能回答．教师与学生一起用三角板比划，得这样的结论：当三角板所在的一条直角边与桌面垂直，另一直角边与桌面重合时，平面内垂直于斜边的直线一定和三角板与桌面的交线垂直．教师提问：从中我们能总结出什么规律吗？［探索研究］1．三垂线定理三垂线定理在平面内的一条直线

2、，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．已知：如图1，分别是平面的垂线、斜线，是在平面内的射影，且，．求证：．图1证明：．三垂线定理实质上是平面的一条斜线和平面内一条直线垂直的判定定理，这两条直线可以是相交直线，也可以是异面直线．由学生根据三垂线定理，叙述三垂线定理的逆定理，并且由他们完成证明过程．2．三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．三垂线定理及其逆定理可以合起来表述如下：设是平面的一条斜线，是在内的射影，是内的一条直线，则有这个定理及其逆定理是

3、证明空间直线互相垂直时经常使用的，因此要求学生牢固掌握这两个命题的实质在于揭露了这样的规律：斜线和它在平面内的射影必定同时垂直于平面内的某条直线．也就是说，斜线和它在平面内的射影，在对平面内的一条直线是否有垂直关系上具有一致性．3．例题分析例1求证：如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线所在的直线上．已知：在平面内，点，，，，垂足分别是，（图2）．图2求证：．证明：要证点在的平分线上，只需证明在平面内的点到这个角的两边距离相等．教师提问：在上面的证明过程中，哪一步应用了三垂线定理或其逆定理？例2如图3，平

4、面，是平面的两条斜线，是在平面内的射影，，，，，求：点到的距离．图3解：可由已知得平面，作于，由三垂线定理有．∴就是到的距离在中，在中，．［演练反馈］1．课本P27练习1．2．课本P27练习2．3．课本P28练习3．4．是所在平面外一点，到三边的距离相等，于点，在内，则是的（）A．外心B．内心C．垂心D．重心5．正方形的边长为12，平面，，则到对角线的距离为（）A．B．C．D．6．如图4，是平面外一点，，，求证：．7．如图5，在正方体中，（1）求证：；图4（2）求证：面．8．如图6，与平面所成的角为，在平面内，和在内的射影所成的角为，设，求证：．图5

5、图6［参考答案］1．连结，由三垂线定理，得出．2．连结，，由三垂线定理知．3．由，，得，又平面，∴，又∴，∴．4．B5．D6．提示：作面于点，连结，先证、，得为的垂心，得，再用三垂线定理证得结论．7．提示：（1）连用三垂线定理．（2）分别用三垂线定理证明、．8．提示：作于点，连用三垂线定理得证．［总结提炼］用三垂线定理或其逆定理证明线线垂直要比用线面垂直来证明线线垂直简单，三垂线定理本身就是由线面垂直证得的．运用三垂线定理时要善于发现其结构，通常是先发现平面的垂线，进而发现斜线、射影、面内的直线，这些直线都是相对于同一个平面的，这个参考平面尤其重要．

6、布置作业：课本P29习题9.411，12．［参考答案］11．提示：可仿课本第26页例3证．12．提示：连结，过点在上底面内画的垂线即得．板书设计：三垂线定理三垂线定理的逆定理例1例2练习