2019年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2 椭圆的简单性质学业分层测评（含解析）北师大版选修1-1

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1、2019年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的简单性质学业分层测评（含解析）北师大版选修1-1一、选择题1．若椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值是(　　)A．3　　　　　　B．3或C.D．或【解析】　若焦点在x轴上，则a＝，由＝得c＝，∴b2＝a2－c2＝3，∴m＝b2＝3.若焦点在y轴上，则b2＝5，a2＝m.∴＝，∴m＝.【答案】　B2．椭圆＋＝1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是(　　)A．8,2B．5,4C．5,1D．9,1【解析】　由题意知a＝5，b＝3，c＝4，∴a＋c＝9，a－c＝1

2、，故点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别为9,1.【答案】　D3．(xx·梅州高二检测)焦点在x轴上，长、短轴长之和为20，焦距为4，则椭圆的方程为(　　)A.＋＝1B．＋＝1C.＋＝1D．＋＝1【解析】　∵c＝2，∴a2＝(2)2＋b2，又a＋b＝10，可解得a＝6，b＝4.故椭圆方程为＋＝1.【答案】　A4．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为(　　)A.B．C.D．【解析】　由题意可得

3、PF2

4、＝

5、F1F2

6、，∴

7、2＝2c.∴3a＝4c.∴e＝.【答案】　C5．已知P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，则m2＋n2的取值范围是(　　)A．(0,1]B．[1,2]C．(0,2]D．[2，＋∞)【解析】　因为P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，所以m2＋＝1，即n2＝2－2m2，所以m2＋n2＝2－m2，又－1≤m≤1，所以1≤2－m2≤2，所以1≤m2＋n2≤2，故选B.【答案】　B二、填空题6．椭圆的短轴长大于其焦距，则椭圆的离心率的取值范围是________.【解析】　由题意2b>2c，即b>c，即>c，∴a2－

8、c2>c2，则a2>2c2.∴<，∴0

9、F1F2

10、h，当P点在y轴上时，h最大，此时S最大∵

11、F1F2

12、＝2c＝8，∴h＝3，即b＝3.【答案】　38．焦点在x轴上的椭圆，焦距

13、F1F2

14、＝8，率心率为，椭圆上的点M到焦点F1的距离2，N为MF1的中点，则

15、ON

16、(O为坐标原点)的值为________．

17、【解析】　∵

18、F1F2

19、＝2c＝8，e＝＝，∴a＝5，∵

20、MF1

21、＋

22、MF2

23、＝2a＝10，

24、MF1

25、＝2，∴

26、MF2

27、＝8.又∵O，N分别为F1F2，MF1的中点，∴ON是△F1F2M的中位线，∴

28、ON

29、＝

30、MF2

31、＝4.【答案】　4三、解答题9．(1)求与椭圆＋＝1有相同的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程．【解】　(1)∵c＝＝，∴所求椭圆的焦点为(－，0)，(，0)．设所求椭圆的标准方程为＋＝1(

32、a＞b＞0)．∵e＝＝，c＝，∴a＝5，b2＝a2－c2＝20.∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.(2)因椭圆的焦点在x轴上，设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．∵2c＝8，∴c＝4，又a＝6，∴b2＝a2－c2＝20.∴椭圆的标准方程为＋＝1.10．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，

33、AF1

34、＝3

35、F1B

36、.(1)若

37、AB

38、＝4，△ABF2的周长为16，求

39、AF2

40、；(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．【解】　(1)由

41、AF1

42、＝3

43、F1B

44、，

45、

46、AB

47、＝4，得

48、AF1

49、＝3，

50、F1B

51、＝1.因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，

52、AF1

53、＋

54、AF2

55、＝2a＝8.故

56、AF2

57、＝2a－

58、AF1

59、＝8－3＝5.(2)设

60、F1B

61、＝k，则k>0且

62、AF1

63、＝3k，

64、AB

65、＝4k.由椭圆定义可得

66、AF2

67、＝2a－3k，

68、BF2

69、＝2a－k.在△ABF2中，由余弦定理可得

70、AB

71、2＝

72、AF2

73、2＋

74、BF2

75、2－2

76、AF2

77、·

78、BF2

79、cos∠AF2B，即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)，化简可得(a＋k)

80、(a－3k)＝0.而a＋k>0，故a＝3k.于是有

81、AF2

82、＝3k＝

83、AF1

84、，

85、BF2

86、＝5k.因此

87、BF2

88、2＝

89、F2A

90、2＋

91、AB

92、2，可得F1A⊥F2A，故△AF1F2为等腰直角三角形．从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝.1．已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M在该椭圆上，且·＝0，则点M到y轴的距离为(　　)A.B．C.D．【解析