《基本不等式及其变形》导学案

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1、第9课时　基本不等式及其变形1.熟悉基本不等式的变形;并会用基本不等式及其变形来解题.2了解基本不等式的推广,并会应用.上一课时我们共同学习了基本不等式的基本概念以及利用基本不等式求最值,并了解了一正二定三相等四最值这些过程.基本不等式是一种重要的数学工具,是集合、函数、不等式、三角函数、数列等知识的综合交汇点,地位重要,这一讲我们将共同探究基本不等式及其变形的应用.问题1:常见的基本不等式的变形(1)x+≥2(x>0),x+≤-2(x<0);(2)+≥2(a,b同号),+≤-2(a,b异号);(3)a+b≥2,()2　　　　ab; (4)ab≤,()2≤,当且

2、仅当a=b时取等号.问题2:基本不等式的推广已知a,b是正数,则有(调和平均数)≤(几何平均数)≤(算术平均数)≤(平方平均数),当且仅当a=b时取等号.问题3:基本不等式的推广的推导∵a,b是正数,∴≤=,而≤,又a2+b2≥2ab,∴2(a2+b2)≥(a+b)2,∴≤.故≤≤≤.问题4:若a,b,c∈R+,则≥,当且仅当a=b=c时等号成立,则关于n个正数a1,a2,a3,…,an的基本不等式为:≥　　　　　　,当且仅当a1=a2=a3=…=an时等号成立,其中叫作这n个数的　　　　　　,叫作这n个数的　　　　　　. 1.四个不相等的正数a,b,c,d成等

3、差数列,则(　　).A.>　　B.1,b>1,且lga+lgb=6,则lga·lgb的最大值为(　　).A.6　　　　B.9　　　　C.12　　　D.183.已知a,b为正实数,如果ab=36,那么a+b的最小值为　　　　;如果a+b=18,那么ab的最大值为　　　　. 4.已知a,b,c为两两不相等的实数,求证:a2+b2+c2>ab+bc+ca.利用基本不等式判断不等关系若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是　　　　(写出所有正确命题的编号). ①ab≤1;②+≤;③a2+b2≥2;④a3+b3≥

4、3;⑤+≥2.基本不等式在证明题中的应用已知a,b,c都是正数,求证:++≥a+b+c.利用基本不等式求最值已知正数x,y满足x2+=1,求x的最大值.已知正数00,b>0,c>0,求证:++≥++.下列说法:①对任意x>0,lgx+≥2;②对任意x∈R,ax+≥2;③对任意x∈(0,),tanx+≥2;④对任意x∈R,sinx+≥2.其中正确的是(　　).A.①③　　B.③④　　C.②③　　D.①②③④1.已知m,n∈

5、R,m2+n2=100,则mn的最大值是(　　).A.100　　　B.50　　　C.20　　　D.102.若0

6、0,a>0)在x=3时取得最小值,则a=　　　　. 　　考题变式(我来改编): 答案第9课时　基本不等式及其变形知识体系梳理问题1:(3)≥问题4:　算术平均数　几何平均数　基础学习交流1.A　∵a+d=b+c,又∵a、b、c、d均是正数,且不相等,∴=>.2.B　∵a>1,b>1,∴lga>0,lgb>0,又lga+lgb=6,∴lga·lgb≤()2=()2=9,故选B.3.12　81　根据基本不等式a+b≥2=2=12,得a+b的最小值为12.根据≤=9,即ab≤81,得ab的最大值为81.4.解:∵a,b,c为两两不相等的实数,∴a2+b2>2ab,b2

7、+c2>2bc,c2+a2>2ca,以上三式相加:2(a2+b2+c2)>2ab+2bc+2ca,∴a2+b2+c2>ab+bc+ca.重点难点探究探究一:【解析】令a=b=1,排除命题②④;由2=a+b≥2⇒ab≤1,命题①正确;a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab≥2,命题③正确;+==≥2,命题⑤正确.故填①③⑤.【答案】①③⑤【小结】基本不等式常用于有条件的不等关系的判断、比较代数式的大小等.一般地,结合所给代数式的特征,将所给条件进行转换(利用基本不等式可将整式和根式相互转化),使其中的不等关系明晰即可解决问题.　　探究二:【解析】∵a>0,b

8、>0,c>0,∴+b≥2