第十二章 达朗伯原理

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1、第十二章达朗贝尔原理第三节刚体惯性力系的简化及达朗贝尔原理的应用第二节质点和质点系的达朗贝尔原理第一节惯性力的概念达朗贝尔原理提供了研究动力学问题的一个新的普遍的方法，即用动力学中研究平衡问题的方法来研究动力学问题，故又称为动静法。动静法在形式上将动力学问题化为静力平衡问题，以静力平衡方程的形式列出动力学方程。由于物体具有惯性，力图保持其惯性运动，所以它同时给予施力体以反作用力，这种反作用力称为惯性力。例如，一质量为m的小球M，用细绳系住，绳的另一端用手握住，使小球在水平面内作匀速圆周运动，其速度为

2、v，半径为r，如图14-1所示。第一节惯性力的基本概念受非零力系作用的物体将改变运动状态。(b)(a)与上述例子实质相同的力学现象不胜枚举。可将质点惯性力的概念归结如下：一质量为m的质点受到力F的作用，具有加速度a。则由动力学第二定律有质点对施力体的反作用力并记作，则有,称为质点的惯性力，可见，质点惯性力的大小等于质点质量与其加速度的乘积，方向与加速度方向相反，而作用在迫使质点改变运动状态的施力物体上。将（14－1）式可向固定直角坐标系投影有（12－2）（12－1）若在自然轴系上投影则有（12－3）

3、上式表明，质点的惯性力也可分解为沿轨迹的切线和法线的两个分力：切向惯性力和法向惯性力，他们的方向分别与切向加速度和法向加速度相反。一、质点的达朗贝尔原理设质量m为的质点，在主动力、约束反力的作用下运动，其加速度为a，如图（a）所示。(a)(b)第二节质点和质点系的达朗贝尔原理对质点M应有上式可改写为由于，则上式记作：（12－4）这说明，在质点运动的任一瞬时，质点所受的主动力、约束反力与质点的惯性力的矢量和为零。也可理解为：在质点运动的任一瞬时，质点所受的主动力、约束反力与虚加的质点的惯性力构成一零力

4、系，这即为质点的达朗贝尔原理。应该明确：式（12－3）只具有静力平衡方程的形式，而没有平衡的实质。【解】以摆锤为研究对象，设它的质量为。摆锤与车厢一样，有向右的加速度。则摆锤上作用的力有：(a)(b)(c)、和，其中。例12-1如图所示，一沿水平直线向右作匀加速运动的车厢内悬挂一单摆，在正常状态下摆的悬线向左偏斜，与铅垂线成角，相对于车厢静止。试求车厢的加速度a。由静力平衡方程则即二、质点系的达朗贝尔原理对质点系中每一个质点应用质点的达朗贝尔原理，然后加以综合，就得到质点系的达朗贝尔原理。设质点系由

5、n个质点组成，其中第个质点的质量为。它在主动力和约束反力作用下运动，其加速度为。则点虚加的惯性力，相应地有（12－5）对整个质点系而言，这样的零力系共有n个，它们综合在一起仍构成一零力系。因此，在质点系运动的任一瞬时，作用于质点系的主动力、约束反力与虚加的质点系的惯性力构成一零力系。这即为质点系的达朗贝尔原理。在应用质点系的动静法时，应当分析并画出质点系所受的外力，再虚加上质点系的惯性力，两者共同构成一个虚拟的零力系。可按静力学方法列出该力系的平衡方程。若研究整个刚体的运动，可以用静力学中所描述的方

6、法将刚体的惯性力系向一点简化，用简化结果等效地代替原来的惯性力系。设将刚体的惯性力系向任选一点O的简化，则惯性力系的主矢为又有，故有（12－6）第三节刚体惯性力系的简化即惯性力系主矢的大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度相反。不论刚体作任何运动，这个结论均成立。至于刚体惯性力系的主矩，则与简化中心的位置和刚体的运动形式有关。现讨论刚体作平行移动、定轴转动和平面运动三种情况下刚体惯性力系的简化结果。一、刚体作平行移动在同一瞬时，平动刚体上各质点具有相同的加速度。任一质点的惯性力为可见

7、各质点的惯性力的大小与各自的质量成正比，方向都与共同的加速度相反。即此时平动刚体的惯性力系是一个同向平行力系，各力大小与各点质点质量成正比，如图所示。＝由平行力系中心的概念，可知此力系合成为通过质心C的合力。即（12－7）此式表明：刚体平动时，其惯性力系向质心C简化为一力，这个力的大小等于刚体质量与加速度的乘积，方向与加速度相反。二、刚体作定轴转动这里限于研究刚体具有垂直于转轴系的质量对称平面N的情况，如图所示。＝(a)(b)通过上图可将整个刚体的惯性力系从空间力系转化为对称平面内的平面力系。再将该

8、平面力系向对称平面的转动中心O（即为转轴与对称平面的交点O）简化，可得到一个力和一个矩为的力偶。力矢可由（12－5）式求得，即（12－8）而应等于惯性力系对O点的主矩。设刚体转动的角速度为ω，角加速度为α。记的转动半径为，则，相应地方向如图（b）。于是即（12－9）上式的负号表示惯性力主矩的转向与角加速度相反。式（12－7）和式（12－8）表明：刚体定轴转动时，其惯性力系向转动中心简化为一个力和一个力偶。其中这个力的大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速