2019_2020学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程学案新人教B版

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1、2.1.1 椭圆及其标准方程学习目标核心素养1.掌握椭圆的定义,会用椭圆的定义解决问题.(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程.(重点)3.理解椭圆标准方程的推导过程,并能运用标准方程解决相关问题.(难点)1.通过对椭圆定义的理解及在直角坐标系下探究椭圆的标准方程,培养学生的直观想象、数学抽象素养.2.以椭圆定义、方程的应用为载体,提升学生的逻辑推理和数学运算素养.1.椭圆的定义(1)定义:平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于

2、F1F2

3、)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆.(2)相关概念:两个定点F

4、1,F2叫做椭圆的焦点,两焦点的距离

5、F1F2

6、叫做椭圆的焦距.思考1:椭圆定义中,将“大于

7、F1F2

8、”改为“等于

9、F1F2

10、”或“小于

11、F1F2

12、”的常数,其他条件不变,点的轨迹是什么?[提示] 2a与

13、F1F2

14、的大小关系所确定的点的轨迹如下表:条件结论2a>

15、F1F2

16、动点的轨迹是椭圆2a=

17、F1F2

18、动点的轨迹是线段F1F22a<

19、F1F2

20、动点不存在,因此轨迹不存在2.椭圆的标准方程焦点位置在x轴上在y轴上标准方程+=1(a>b>0)+=1(a>b>0)图形焦点坐标(±c,0)(0,±c)a,b,c的关系a2=

21、b2+c2思考2:确定椭圆标准方程需要知道哪些量?[提示] a,b的值及焦点所在的位置.1.已知点M到两个定点A(-1,0)和B(1,0)的距离之和是定值2,则动点M的轨迹是(  )A一个椭圆B.线段ABC.线段AB的垂直平分线D.直线ABB [定值2等于

22、AB

23、,故点M只能在线段AB上.]2.以下方程表示椭圆的是(  )A.+=1B.2x2-3y2=2C.-2x2-3y2=-1D.+=0C [A中方程为圆的方程,B,D中方程不是椭圆方程.]3.以坐标轴为对称轴,两焦点的距离是2,且过点(0,2)的椭圆的标准方程是(  )

24、A.+=1B.+=1C.+=1或+=1D.+=1或+=1C [若椭圆的焦点在x轴上,则c=1,b=2,得a2=5,此时椭圆方程是+=1;若焦点在y轴上,则a=2,c=1,则b2=3,此时椭圆方程是+=1.]求椭圆的标准方程【例1】 求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0);(2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0);(3)经过点A(,-2)和点B(-2,1).[思路探究] 求椭圆标准方程,先确定焦点位置,设出椭圆方程,再定量计算.[解] (1)由

25、于椭圆的焦点在x轴上,∴设它的标准方程为+=1(a>b>0).∵2a=+=10,∴a=5.又c=4,∴b2=a2-c2=25-16=9.故所求椭圆的标准方程为+=1.(2)由于椭圆的焦点在y轴上,∴设它的标准方程为+=1(a>b>0).由于椭圆经过点(0,2)和(1,0),∴⇒故所求椭圆的标准方程为+x2=1.(3)法一:①当焦点在x轴上时,设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).依题意有解得故所求椭圆的标准方程为+=1.②当焦点在y轴上时,设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).依题意有解得因为a>b>0,所以无解.综上

26、,所求椭圆的标准方程为+=1.法二:设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),依题意有解得所以所求椭圆的标准方程为+=1.确定椭圆方程的“定位”与“定量”提醒:若椭圆的焦点位置不确定,需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).1.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)焦点分别为(0,-2),(0,2),经过点(4,3);(2)经过两点(2,-),.[解] (1)法一:因为椭圆的焦点在y轴上,所以可设它的标准方程为+=1(a>b>0).由椭

27、圆的定义知2a=+=12,所以a=6.又c=2,所以b==4.所以椭圆的标准方程为+=1.法二:因为椭圆的焦点在y轴上,所以可设其标准方程为+=1(a>b>0).由题意得解得所以椭圆的标准方程为+=1.(2)法一:若椭圆的焦点在x轴上,设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).由已知条件得解得所以所求椭圆的标准方程为+=1.同理可得:焦点在y轴上的椭圆不存在.综上,所求椭圆的标准方程为+=1.法二:设椭圆的一般方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).将两点(2,-),代入,得解得所以所求椭圆的标准方程为+=1.与

28、椭圆有关的轨迹问题【例2】 如图,圆C:(x+1)2+y2=25及点A(1,0),Q为圆上一点,AQ的垂直平分线交CQ于M,求点M的轨迹方程.[解] 由垂直平分线性质可知

29、MQ

30、=

31、MA

32、,

33、CM

34、+

35、MA

36、=

37、CM

38、+

39、MQ

40、=

41、CQ

42、.∴

43、CM

44、+

45、MA

46、=5.∴M点的轨迹为椭圆,其中2a=5,焦点

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