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《2019_2020学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程学案新人教B版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.1.1 椭圆及其标准方程学习目标核心素养1.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决问题．(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)1.通过对椭圆定义的理解及在直角坐标系下探究椭圆的标准方程，培养学生的直观想象、数学抽象素养.2.以椭圆定义、方程的应用为载体，提升学生的逻辑推理和数学运算素养.1．椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于
2、F1F2
3、)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．(2)相关概念：两个定点F
4、1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离
5、F1F2
6、叫做椭圆的焦距．思考1：椭圆定义中，将“大于
7、F1F2
8、”改为“等于
9、F1F2
10、”或“小于
11、F1F2
12、”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？[提示] 2a与
13、F1F2
14、的大小关系所确定的点的轨迹如下表：条件结论2a＞
15、F1F2
16、动点的轨迹是椭圆2a＝
17、F1F2
18、动点的轨迹是线段F1F22a＜
19、F1F2
20、动点不存在，因此轨迹不存在2.椭圆的标准方程焦点位置在x轴上在y轴上标准方程＋＝1(a＞b＞0)＋＝1(a＞b＞0)图形焦点坐标(±c,0)(0，±c)a，b，c的关系a2＝
21、b2＋c2思考2：确定椭圆标准方程需要知道哪些量？[提示] a，b的值及焦点所在的位置．1．已知点M到两个定点A(－1,0)和B(1,0)的距离之和是定值2，则动点M的轨迹是( )A一个椭圆B．线段ABC．线段AB的垂直平分线D．直线ABB [定值2等于
22、AB
23、，故点M只能在线段AB上．]2．以下方程表示椭圆的是( )A．＋＝1B．2x2－3y2＝2C．－2x2－3y2＝－1D．＋＝0C [A中方程为圆的方程，B，D中方程不是椭圆方程．]3．以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是2，且过点(0,2)的椭圆的标准方程是( )
24、A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1或＋＝1D．＋＝1或＋＝1C [若椭圆的焦点在x轴上，则c＝1，b＝2，得a2＝5，此时椭圆方程是＋＝1；若焦点在y轴上，则a＝2，c＝1，则b2＝3，此时椭圆方程是＋＝1.]求椭圆的标准方程【例1】 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；(3)经过点A(，－2)和点B(－2，1)．[思路探究] 求椭圆标准方程，先确定焦点位置，设出椭圆方程，再定量计算．[解] (1)由
25、于椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．∵2a＝＋＝10，∴a＝5.又c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.故所求椭圆的标准方程为＋＝1.(2)由于椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴⇒故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.(3)法一：①当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．依题意有解得故所求椭圆的标准方程为＋＝1.②当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．依题意有解得因为a>b>0，所以无解．综上
26、，所求椭圆的标准方程为＋＝1.法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，依题意有解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.确定椭圆方程的“定位”与“定量”提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,3)；(2)经过两点(2，－)，.[解] (1)法一：因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由椭
27、圆的定义知2a＝＋＝12，所以a＝6.又c＝2，所以b＝＝4.所以椭圆的标准方程为＋＝1.法二：因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设其标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由题意得解得所以椭圆的标准方程为＋＝1.(2)法一：若椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由已知条件得解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.同理可得：焦点在y轴上的椭圆不存在．综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1.法二：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．将两点(2，－)，代入，得解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.与
28、椭圆有关的轨迹问题【例2】 如图，圆C：(x＋1)2＋y2＝25及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程．[解] 由垂直平分线性质可知
29、MQ
30、＝
31、MA
32、，
33、CM
34、＋
35、MA
36、＝
37、CM
38、＋
39、MQ
40、＝
41、CQ
42、.∴
43、CM
44、＋
45、MA
46、＝5.∴M点的轨迹为椭圆，其中2a＝5，焦点
