高中数学第三章Ⅰ3.2对数与对数函数3.2.2对数函数课堂导学案

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1、3.2.2对数函数课堂导学三点剖析一、对数函数定义域、值域问题【例1】求下列函数的定义域与值域.(1)y=log2(x2-4x-5);(2)y=log3(9-x2);(3)y=;(4)y=.思路分析：(1)(2)题,用y=logax的定义域来求它们的定义域,即相当于利用y=logax中的x的代数式大于0即可求得;(3)(4)题,对数要有意义并且根式也要有意义,结合对数函数的图象求定义域比较直观、好理解.解：(1)∵x2-4x-5>0,∴x<-1或x>5.∴y=log2(x2-4x-5)的定义域是{x

2、x<-1或x>5}.又令g(x)=(x-2)

3、2-9,∵g(x)在定义域内恒有g(x)>0,∴函数值域为R.(2)由9-x2>0,得-3

4、-3

5、x>0},值域为R.(4)要使函数y=有意义,必须log0.5(4x-3)≥0=log0.51.∴0<4x-3≤1.∴

6、

7、,+∞).二、比较大小问题【例2】比较下列各组数中两个值的大小:(1)log0.3,log20.8;(2)loga5.1,loga5.9;(3)log67,log76.思路分析：对于底数相同的两个对数值比较大小,可由对数函数的单调性确定.对于底数不同的两个对数值比较大小,要换底或在两个对数值之间搭一个“桥梁”,如“0”和“1”,间接地比较大小.解：(1)由对数的性质,知log0.3>0,log20.8<0,4∴log0.3>log20.8.(2)对数函数的增减性取决于对数的底数是大于1还是在0与1之间,而已知条件中并未明确指出底数a与1哪个大,

8、因此需要对底数a进行讨论.当a>1时,函数y=logax在(0,+∞)上是增函数,5.1<5.9,∴loga5.1loga5.9.(3)∵log67>1,log76log76.三、函数单调性的判定与单调区间的求法【例3】(1)求证:函数f(x)=-logx在(0,+∞)上是增函数;(2)求函数f(x)=log2(x2-1)的单调区间.(1)证明:在(0,+∞)上任取x1、x2,且0

9、1)-f(x2)=(-logx1)-(-logx2)=logx2-logx1.又y=logx在(0,+∞)上是减函数,有logx20得x>1或x<-1,∴f(x)定义域为(1,+∞)∪(-∞,-1).令g(x)=x2-1,知g(x)在(1,+∞)上递增,在(-∞,-1)上递减且f(x)=log2x为增函数.故f(x)的增区间为(1,+∞),减区间为(-∞,-1).温馨提示(1

10、)要熟练地应用增、减函数的定义,以及对数函数y=logax的单调性来证明复合函数单调性.(2)G(x)=f［g(x)］,若g(x)与f(x)同增(或同减),则G(x)为增;若g(x)与f(x)一增一减,则G(x)为减,可据此来求单调区间.各个击破类题演练1已知函数y=loga(a-ax)(其中a>1),求它的定义域和值域.解析：根据题意a-ax>0,∴ax1,y=ax是增函数,∴x<1.∵ax0,0

11、x<1}和{y

12、y<

13、1}.变式提升1求下列函数的定义域:(1)y=log7;4(2)y=;(3)y=log(x+1)(16-4x).解析：(1)由得x<,∴所求函数的定义域为{x

14、x<}.(2)由即∴函数y=的定义域为{x

15、x≥2或x<-3且x≠-1}.(3)由∴y=log(x+1)(16-4x)的定义域为{x

16、-1log3.(2)∵log3π>log31

17、=0,log20.8log20.8.变式提升比较(lgm)1.9与(lgm)2.1(m>1)的大小.解析：把lgm看作