高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.2 对数函数 3.2.2 对数函数(1)学案 苏教版必修1

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1、3．2．2　对数函数第1课时　对数函数的概念与性质1．初步理解对数函数的概念．2．掌握对数函数的定义域、值域、单调性等对数函数的性质．1．对数函数的概念函数y＝logax(a＞0，a≠1)叫做对数函数，它的定义域为(0，＋∞)．【做一做1】下列函数是对数函数的有________．①y＝2x；②y＝x2；③y＝log2x；④y＝lgx；⑤y＝ln(x2＋1)；⑥y＝logx(x＋1)．答案：③④2．对数函数的图象与性质由于对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数，所以y＝logax的图象与y＝ax的图象关于直线y＝x对称．因此，我们只要画出和y＝ax的图象关于y

2、＝x对称的曲线，就可以得到y＝logax的图象(如下图)，然后根据图象特征得出对数函数的性质．a＞10＜a＜1a＞10＜a＜1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过点(1,0)，即当x＝1时，y＝0x∈(0,1)时，y＜0x∈(1，＋∞)时，y＞0x∈(0,1)时，y＞0x∈(1，＋∞)时，y＜0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数对数增减有思路，函数图象看底数，底数只能大于0，等于1来也不行，底数若是大于1，图象从下往上增，底数0到1之间，图象从上往下减．无论函数增和减，图象都过(1,0)点．【做一做2－1】写出下列函数的值域．(1)y＝lgx：_____

3、_____；(2)y＝lg(x2－2x＋2)：__________.答案：(1)R　(2)[0，＋∞)【做一做2－2】比较下列各数的大小．(1)log26__________log27；(2)log0.10.3__________log0.10.4.答案：(1)＜　(2)＞怎样把对数函数与指数函数联系起来研究？剖析：(1)对数函数的反函数是指数函数，所以要利用指数函数的性质来研究对数函数．应该注意到：这两种函数都要求底数a＞0，且a≠1；对数函数的定义域为(0，＋∞)，结合图象看，对数函数在y轴左侧没有图象，即负数与0没有对数，也就是真数必须大于0.这些知识可以用来求含

4、有对数的函数的定义域．(2)通过将对数函数与指数函数的图象进行对比，可以发现：当a＞1或0＜a＜1时，对数函数与指数函数的单调性是一致的〔即在区间(0，＋∞)上同为增函数，或者同为减函数〕．对数函数的图象都经过点(1,0)，这与性质loga1＝0a0＝1是分不开的．(3)既然对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数，那么它们的图象关于直线y＝x对称．(4)指数函数与对数函数可以对比如下：名称指数函数对数函数一般形式y＝ax(a＞0，a≠1)y＝logax(a＞0，a≠1)名称指数函数对数函数定义域(－∞，＋∞)(0，＋∞)值域(0，＋∞)(－∞，＋∞)函数值变

5、化情况当a＞1时，当0＜a＜1时，当a＞1时，当0＜a＜1时，单调性当a＞1时，y＝ax是增函数；当0＜a＜1时，y＝ax是减函数当a＞1时，y＝logax是增函数；当0＜a＜1时，y＝logax是减函数图象y＝ax的图象与y＝logax的图象关于直线y＝x对称题型一对数函数的定义域与值域【例1】求下列函数的定义域．(1)y＝；(2)y＝log(2x－1)(3x－2)．解：(1)由得x＞－1且x≠7，所以定义域为(－1,7)∪(7，＋∞)．(2)由得x＞，且x≠1.所以所求定义域为∪(1，＋∞)．反思：对于对数函数f(x)＝logax来说，必须考虑两大条件，其一是真数x

6、＞0，其二是底数a＞0且a≠1.【例2】求下列函数的值域．(1)；(2)y＝(log2x)2－log2(4x)＋2.解：(1)∵4x－x2＝－(x－2)2＋4≤4，∴由0＜4x－x2≤4得≥＝－2，即所求值域为[－2，＋∞)．(2)y＝(log2x)2－log24－log2x＋2＝2－.∵log2x∈R，∴当log2x＝，即x＝时，ymin＝－.∴所求值域为.反思：有关对数函数的值域问题，除函数y＝logax的值域为R外，还可通过化归的方法，转化为二次函数的值域问题求解．题型二利用函数单调性比较大小【例3】比较大小：(1)log0.27与log0.29；(2)log35

7、与log65；(3)(lgm)1.9与(lgm)2.1(m＞1)；(4)log85与lg4.分析：(1)log0.27和log0.29可看做是函数y＝log0.2x，当x＝7和x＝9时对应的两函数值，由y＝log0.2x在(0，＋∞)上单调递减，得log0.27＞log0.29.(2)∵log35＞1，log65＜1，∴log35＞log65.(3)把lgm看做指数函数的底数，要比较两数的大小，关键是比较底数lgm与1的关系．若lgm＞1即m＞10，则(lgm)x在R上单调递增，故(lgm)1.9＜(lgm)2.1.若0＜lgm＜1，即1