高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.2 对数函数 3.2.2 对数函数(2)学案 苏教版必修1

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1、第2课时　对数函数的图象与性质通过对数函数的图象及其变换，观察发现对数函数的性质，提高识图能力.对数函数y＝logax(a＞1)与指数函数y＝ax(a＞1)的性质比较函数y＝axy＝logax图象性质定义域R定义域(0，＋∞)值域(0，＋∞)值域R过定点(0,1)过定点(1,0)当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0在R上是增函数在(0，＋∞)上是增函数【做一做1】将指数函数f(x)＝3x的图象沿直线y＝x翻折后，可得函数__________的图象．答案：y＝log3x【做一做2】将对数函数y＝log2x的

2、图象向右平移1个单位长度后可得函数__________的图象．答案：y＝log2(x－1)不同底数的图象之间的变化趋势是怎样的？剖析：由于对数函数y＝logax的图象与直线y＝1交于点(a,1)(如图1所示)，所以对数函数y＝logax的图象在x轴上方，从左到右对应的底数由小到大依次递增；由于对数函数y＝logax的图象与直线y＝－1交于点(如图2所示)，所以对数函数y＝logax的图象在x轴下方，从左到右对应的底数由大到小依次递减．图1图2题型一对数函数的图象及变换【例1】作出函数y＝

3、log2(x＋1)

4、＋2的图象．解：作复合函数的图象问题，可先考

5、虑它的基本函数的图象，然后作适当的变换完成．先作y＝log2x的图象y＝log2(x＋1)y＝

6、log2(x＋1)

7、y＝

8、log2(x＋1)

9、＋2.如图所示．反思：利用函数图象的三大基本变换平移变换、对称变换、伸缩变换是作复合函数图象的基本途径．本题使用了平移和对称两种方法，在平移中要注意“上、下”和“左、右”与x，y的关系；对称变换要注意与x轴和y轴的关系．题型二对数函数的性质【例2】已知函数f(x)＝lg

10、x

11、.(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)画出函数f(x)的图象的草图；(3)求函数f(x)的单调递减区间．分析：(1)确定函数的定义域，判断

12、f(x)和f(－x)的关系；(2)函数f(x)的图象关于y轴对称，利用变换作图画出草图；(3)由图象观察出单调递增区间，再用定义证明．解：(1)要使函数有意义，x的取值需满足

13、x

14、＞0，解得x≠0，即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝lg

15、－x

16、＝lg

17、x

18、＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．(2)由于函数f(x)是偶函数，则其图象关于y轴对称，将函数y＝lgx的图象对称到y轴的左侧与函数y＝lgx的图象合起来得函数f(x)的图象，如下图所示．(3)方法一：由图得函数f(x)的单调递减区间是(－∞，0)．证明：设x1，x2∈(－∞

19、，0)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝lg

20、x1

21、－lg

22、x2

23、＝lg＝lg，∵x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，∴

24、x1

25、＞

26、x2

27、＞0.∴＞1.∴lg＞0.∴f(x1)＞f(x2)．∴函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，即函数的单调递减区间是(－∞，0)．方法二：函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．设y＝lgu，u＝

28、x

29、.当函数f(x)是减函数时，由于函数y＝lgu是增函数，则函数u＝

30、x

31、是减函数．又函数u＝

32、x

33、的单调递减区间是(－∞，0)，∴函数f(x)＝lg

34、x

35、的单调递减区间是(－∞，0)．反思：根据定义来判断函

36、数的奇偶性和单调性，是解答题的基本方法．【例3】已知函数f(x)＝lg(－x)．(1)判断函数的奇偶性；(2)判断函数的单调性．分析：利用函数的奇偶性和单调性的定义进行判断．解：(1)函数的定义域为R，关于原点对称．f(－x)＝lg[－(－x)]＝lg(＋x)＝lg＝lg(－x)－1＝－lg(－x)＝－f(x)，即f(－x)＝－f(x)．所以函数f(x)＝lg(－x)是奇函数．(2)函数的定义域为R，任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝lg，下面分段讨论：①当x1＜x2＜0时，则－x1＞－x2＞0，x＞x，所以－x1＞－x2，即

37、＞1，所以f(x1)－f(x2)＞0，此时函数在R上为减函数．②当0＜x1＜x2时，则＋x2＞＋x1，又f(x1)－f(x2)＝lg＝lg＞0，所以此时函数在R上为减函数．③当x1＜0＜x2，且f(0)＝0时，由①②可知f(x1)＞0＞f(x2)．所以函数f(x)＝lg(－x)是定义域R上的减函数．反思：研究函数奇偶性和单调性，都首先必须考虑函数的定义域．1函数y＝f(x)的图象如下图所示，则函数的图象大致是__________．解析：从已知函数的图象可得所求函数过点(1,0)，且当x∈(0,1)时，函数为增函数，当x∈(1,2)时，函数为减函数．答案

38、：③2函数y＝ln的大致图象为__________．解析：因为定义域为(－∞，－1)∪(－1，