2017_18版高中数学第三单元导数及其应用3.3.2利用导数研究函数的极值一教学案

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1、3.3.2　利用导数研究函数的极值(一)学习目标　1.了解函数极值的概念，能从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点一　函数极值的概念函数y＝f(x)的图象如图所示．思考1　函数在点x＝a处的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系？　　思考2　f′(a)为多少？在点x＝a附近，函数的导数的符号有什么规律？　　思考3　函数在点x＝b处的情况呢？　　　梳理　已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x0，对于存在一个

2、包含x0的开区间内的所有点x，如果都有f(x)f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取____________，记作y极小值＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个________________．10____________与____________统称为极值．__________与____________统称为极值点．知识点二　求函数y＝f(x

3、)的极值的方法解方程f′(x)＝0.当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)________0，右侧f′(x)________0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)________0，右侧f′(x)________0，那么f(x0)是极小值．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　类型一　求函数的极值和极值点例1　求下列函数的极值：(1)f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1；(2)f(x)＝＋3lnx.　　反思与感悟　求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导

4、数f′(x)．(2)求方程f′(x)＝0的根．(3)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．特别提醒：在判断f′(x)的符号时，借助图象也可判断f′(x)各因式的符号，还可用特殊值法判断．跟踪训练1　已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．　　类型二　已知函数极值求参数例2　已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0

5、，求常数a，b的值．引申探究若本例的条件改为“x＝－3，x＝－1是f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2的两个极值点”，求常数a，10b的值．反思与感悟　已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．跟踪训练2　已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝x0处取得极大值5，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，

6、求：(1)x0的值；(2)a，b，c的值．　类型三　函数极值的综合应用例3　设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．　反思与感悟　利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．跟踪训练3　已知函数f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，若函数y＝f(x)的图象与y＝f′(x)＋5x＋

7、m的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围．　10　1．如图为y＝f(x)的导函数的图象，则下列判断正确的是(　　)①f(x)在(－3,1)上为增函数；②x＝－1是f(x)的极小值点；③f(x)在(2,4)上为减函数，在(－1,2)上是增函数；④x＝2是f(x)的极小值点．A．①②③B．②③C．③④D．①③④2．函数f(x)＝x3－4x＋4的极大值与极小值之和为(　　)A．8B.C．10D．123．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a等于(　　)A．2B．3C．4D．54．已

8、知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为(　　)A．－12D．a<－3或a>65．已知函数f(x)＝ax2＋blnx在x＝1处有极值.(1)求a，b的值；(2)判断f(x)的单调区间，并求极值．　1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值