2017_18学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.3双曲线教学案北师大版选修

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1、§3双_曲_线3．1　双曲线及其标准方程双曲线的定义2013年11月30日，中国海军第16批护航编队“盐城”导弹护卫舰，“洛阳”号导弹护卫舰在亚丁湾东部海域商船集结点附近正式会合，共同护航，某时，“洛阳”舰哨兵监听到附近海域有快艇的马达声，与“洛阳”舰哨兵相距1600m的“盐城”舰，3秒后也监听到了马达声(声速340m/s)，用A、B分别表示“洛阳”舰和“盐城”舰所在的位置，点M表示快艇的位置．问题1：快艇距我两护卫舰的距离之差是多少？提示：

2、MB

3、－

4、MA

5、＝340×3＝1020(m)．问题2：我两护卫舰为辨明快艇意图，保持不动，持续监测，发现快艇到我两舰距离之差保

6、持不变，快艇运动有何特点？提示：始终满足

7、MB

8、－

9、MA

10、＝1020.双曲线的定义定义平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于

11、F1F2

12、)的点的集合叫作双曲线焦点定点F1，F2叫作双曲线的焦点焦距两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距集合语言P＝{M

13、＝2a,0＜2a＜

14、F1F2

15、}双曲线的标准方程上述问题中，设

16、AB

17、＝1600＝2c,

18、

19、MA

20、－

21、MB

22、

23、＝1020＝2a.问题1：以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则点M20的轨迹方程是什么？提示：(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)．问题2：若以AB

24、所在直线为y轴，AB的垂直平分线为x轴，则点M的轨迹方程为什么？提示：(c2－a2)y2－a2x2＝a2(c2－a2)．双曲线的标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图像标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)焦点坐标F1(－c,0)；F2(c,0)F1(0，－c)；F2(0，c)a，b，c的关系c2＝a2＋b21．双曲线定义中＝2a(0<2a<

25、F1F2

26、)，不要漏掉绝对值符号．当2a＝

27、F1F2

28、时，表示两条射线．2．在双曲线的标准方程中，a>b不一定成立．c2＝a2＋b2与椭圆中的a2＝b2＋c2不同．双曲线的标准方程[例1]　根据下列条件求双

29、曲线的标准方程．(1)求以椭圆＋＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线通过M(1,1)，N(－2,5)两点，求双曲线的标准方程．20[思路点拨]　用待定系数法，根据双曲线焦点的位置设方程，根据条件确定参数．当已知双曲线的两个焦点和双曲线上某一点，也可利用双曲线的定义求解．[精解详析]　(1)法一：(待定系数法)由题意知双曲线的两焦点F1(0，－3)，F2(0,3)．设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，将点A(4，－5)代入双曲线方程得－＝1，又a2＋b2＝9，解得a2＝5，b2＝4.∴双曲线的标准方程为－＝1.法

30、二：(定义法)由题意知双曲线的两个焦点分别为F1(0，－3)，F2(0,3)且A(4，－5)在双曲线上，则2a＝

31、

32、AF1

33、－

34、AF2

35、

36、＝

37、－

38、＝2，∴a＝，∴b2＝c2－a2＝9－5＝4.即双曲线的标准方程为－＝1.(2)法一：若焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．因为M(1,1)，N(－2,5)在双曲线上，所以解得若焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．同理有解得(不合题意，舍去)．所以所求双曲线的标准方程为－＝1.法二：设所求双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．将点M(1,1)，N(－2,5)代入上述方程

39、，得20解得所以所求双曲线的标准方程为－＝1.[一点通]　求双曲线标准方程的常用方法：(1)定义法：若由题设条件能够判断出动点的轨迹满足双曲线的定义，则可根据双曲线的定义确定方程．(2)用待定系数法，具体步骤如下：1．已知椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为10，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的差的绝对值等于4，则曲线C2的标准方程为(　　)A.－＝1　　　　　　　　B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：由题意知椭圆C1的两个焦点为(－3,0)，(3,0)．设曲线C2的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则有a2＋b2＝9，且2a＝4.∴a2＝4，b2＝5，

40、故选A.答案：A2．已知双曲线经过点P(3,2)和点Q(－6，7)，求该双曲线的标准方程．解：设所求双曲线的标准方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，又双曲线过P，Q两点，∴解得故所求双曲线标准方程为－＝1.203．已知双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求双曲线的方程．解：因为椭圆＋＝1的焦点为(0，－3)，(0,3)，A点的坐标为(，4)或(－，4)，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，所以所以所求的双曲线的标准方程为－＝1.曲线类型的判定[例2]　已知曲线C：＋＝1(t≠0，t＝±1)．(1)求t为何