2017_18版高中数学第三章圆锥曲线与方程3.2双曲线的简单性质学案北师大版选修

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1、3.2　双曲线的简单性质学习目标　1.了解双曲线的简单性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中a，b，c，e间的关系.4.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题.知识点一　双曲线的范围、对称性思考　观察下面的图形：(1)从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的，那么是否与椭圆一样有范围限制？(2)是不是轴对称图形？对称轴是哪条直线？是不是中心对称图形？对称中心是哪个点？梳理　(1)双曲线－＝1(a>0，b>0)中要求x∈______________，y∈______.双曲线－＝

2、1(a>0，b>0)中要求x∈____________，y∈________________.(2)双曲线的对称轴为__________，对称中心为______.知识点二　双曲线的顶点思考　(1)双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点，你认为对吗？为什么？(2)双曲线是否只有两个顶点？双曲线的顶点和焦点能在虚轴上吗？梳理　双曲线－＝1(a>0，b>0)的顶点坐标为________，______；双曲线－＝1(a>0，b>0)的顶点坐标为______，______.知识点三　渐近线与离心率思考1　能否和椭圆一样，用a，b表示双曲线的离心率？15思

3、考2　离心率对双曲线开口大小有影响吗？满足什么对应关系？梳理　(1)渐近线：直线__________叫作双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线.(2)离心率：双曲线的焦距与实轴长的比______，叫作双曲线的离心率，用e表示(e>1).(3)双曲线的性质见下表：标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线离心率e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝a，b，c间的关系

4、c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)类型一　已知双曲线的标准方程研究其简单性质例1　求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.15引申探究将本例改为“求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程”，请给出解答.　反思与感悟　由双曲线的方程研究性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键.(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值.(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的性质.跟踪训练1　求双曲线9y2

5、－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.类型二　由双曲线的性质确定标准方程例2　求下列双曲线的标准方程.(1)与椭圆＋＝1有公共焦点，且过点(－2，)；(2)过点(3,9)，离心率e＝.反思与感悟　(1)根据双曲线的某些性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式.(2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧①焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0).②焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0).15③与双曲线－＝1共焦点的双曲线方

6、程可设为－＝1(λ≠0，－b2<λ0，b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为，求此双曲线的标准方程.类型三　共轭双曲线与等轴双曲线命题角度1　共轭双曲线例3　已知双曲线E与双

7、曲线－＝1共渐近线，且过点A(2，－3).若双曲线M以双曲线E的实轴为虚轴，虚轴为实轴，试求双曲线M的标准方程.反思与感悟　双曲线－＝1(a>0，b>0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)互为共轭双曲线，两者：(1)有共同的渐近线.(2)四个焦点共圆.(3)它们的离心率不同，设它们的离心率分别为e1，e2，则＋＝1.(4)焦点所在坐标轴不同，一个在x轴上，另一个在y轴上.跟踪训练3　与双曲线－＝1有共同渐近线，且过点(－3,2)的双曲线的共轭双曲线的方程为________.命题角度2　等轴双曲线例4　已知等轴双曲线的焦点在x轴上，且焦点到渐近线

8、的距离是，求此双曲线的方程.15反思与感悟　(1)实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线.(2)等轴双曲线的性质：①渐近线方程为y＝±x；②渐近线互相垂直；③离心率e