2017_18版高中数学第三章圆锥曲线与方程3.1双曲线及其标准方程学案北师大版选修

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1、3.1　双曲线及其标准方程学习目标　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.知识点一　双曲线的定义思考　如图，若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？梳理　(1)平面内到两定点F1，F2的距离之差的______等于常数(大于零且小于

2、F1F2

3、)的点的轨迹叫作双曲线._

4、_________叫作双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫作双曲线的______.(2)关于“小于

5、F1F2

6、”：①若将“小于

7、F1F2

8、”改为“等于

9、F1F2

10、”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的______(包括端点)；②若将“小于

11、F1F2

12、”改为“大于

13、F1F2

14、”，其余条件不变，则动点轨迹不存在.(3)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的______.(4)若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是__________________.知识点二　双曲线的标准方程

15、思考1　双曲线的标准方程的推导过程是什么？思考2　双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？12梳理　(1)两种形式的标准方程焦点所在的坐标轴x轴y轴标准方程图形焦点坐标a，b，c的关系式(2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在______上；若y2项的系数为正，那么焦点在______上.(3)双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为Ax2＋By2＝1(AB<0).(4)标准方程中的两个参数a和

16、b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里的b2＝____________与椭圆中的b2＝________相区别.类型一　双曲线的定义及应用命题角度1　双曲线中焦点三角形面积问题例1　已知双曲线－＝1的左，右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积.引申探究本例中若∠F1PF2＝90°，其他条件不变，求△F1PF2的面积.　12反思与感悟　求双曲线中焦点三角形面积的方法(1)方法一：①根据双曲线的定义求出

17、

18、PF1

19、－

20、PF2

21、

22、＝2a；②利用

23、余弦定理表示出

24、PF1

25、，

26、PF2

27、，

28、F1F2

29、之间满足的关系式；③通过配方，利用整体的思想求出

30、PF1

31、·

32、PF2

33、的值；④利用公式＝×

34、PF1

35、·

36、PF2

37、sin∠F1PF2求得面积.(2)方法二：利用公式＝×

38、F1F2

39、×

40、yP

41、(yP为P点的纵坐标)求得面积.特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件

42、

43、PF1

44、－

45、PF2

46、

47、＝2a的变形使用，特别是与

48、PF1

49、2＋

50、PF2

51、2，

52、PF1

53、·

54、PF2

55、间的关系.跟踪训练1　如图所示，已知F1，F2分别为双曲线－＝1的

56、左，右焦点，点M为双曲线上一点，并且∠F1MF2＝θ，求△MF1F2的面积.命题角度2　利用双曲线定义求其标准方程例2　(1)已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是(　　)A.

57、PF1

58、－

59、PF2

60、＝±3B.

61、PF1

62、－

63、PF2

64、＝±4C.

65、PF1

66、－

67、PF2

68、＝±5D.

69、PF1

70、2－

71、PF2

72、2＝±4(2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________

73、________.反思与感悟　双曲线定义的两种应用(1)根据双曲线的定义判断动点轨迹时，一定要注意双曲线定义中的各个条件，不要一看到动点到两个定点的距离之差的绝对值是常数，就认为其轨迹是双曲线，还要看该常数是否小于两个已知定点之间的距离且大于零，否则就不是双曲线.12(2)巧妙利用双曲线的定义求曲线的轨迹方程，可以使运算量大大减小，同时提高解题速度和质量.其基本步骤为①寻求动点M与定点F1，F2之间的关系；②根据题目的条件计算是否满足

74、

75、MF1

76、－

77、MF2

78、

79、＝2a(常数，a>0).③判断：若2a<

80、2c＝

81、F1F2

82、，满足定义，则动点M的轨迹就是双曲线，且2c＝

83、F1F2

84、，b2＝c2－a2，进而求出相应a，b，c.④根据F1，F2所在的坐标轴写出双曲线的标准方程.跟踪训练2　下列命题是真命题的是________.(将所有真命题的序号都填上)①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足

85、PF1

86、－

87、PF2

88、＝的点P的轨迹为双曲线；②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足

89、

90、PF1

91、－

92、PF2

93、

94、＝4的点P的轨迹为两条射线；③到定点F1(－3,0)