2017_18版高中数学第二单元圆锥曲线与方程2.2.1双曲线及其标准方程教学案

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1、2．2.1　双曲线及其标准方程学习目标　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点一　双曲线的定义观察图形，思考下列问题思考1　图中动点M的几何性质是什么？　　思考2　若

2、

3、MF1

4、－

5、MF2

6、

7、＝

8、F1F2

9、，则动点M的轨迹是什么？　　梳理　把平面内到两个定点F1，F2的距离的________________等于定值2a(大于0且小于

10、F1F2

11、)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做________________，_________

12、_______叫做双曲线的焦距．知识点二　双曲线的标准方程思考1　双曲线的标准形式有两种，如何区别焦点所在的坐标轴？　　　思考2　如图，类比椭圆中a，b，c的意义，对于双曲线，你能在y轴上找一点B，使

13、OB

14、＝10b吗？　　梳理　焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距

15、F1F2

16、＝2c，c2＝a2＋b2类型一　求双曲线的标准方程例1　求下列双曲线的标准方程．(1)与椭圆＋＝1有公共焦点，且过点(－2，)；(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；(3)过点P

17、(3，)，Q(－，5)，且焦点在坐标轴上．　　反思与感悟　待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．②与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)共焦点的双曲线的标准方程可设为－＝1(－b2＜k＜a2)．10(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值．(4)结论：写出双曲线的标准方程．跟踪训练1　根据条件求双曲线的标准方程．(1)c＝，经过点A(－5,2)，焦点在x轴上；(2)经过点P(4，－2)和点Q(2

18、，2)；(3)已知双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且过点(，4)．　　　类型二　双曲线的定义及应用命题角度1　双曲线的焦点三角形例2　(1)如图，已知双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，点A，B均在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，

19、AB

20、＝m，F1为双曲线的左焦点，则△ABF1的周长为________．引申探究本例(2)中若∠F1PF2＝90°，其他条件不变，求△F1PF2的面积．(2)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________．反思与感悟　求双曲线中焦点三角形面积的

21、方法(1)方法一：①根据双曲线的定义求出

22、

23、PF1

24、－

25、PF2

26、

27、＝2a；②利用余弦定理表示出

28、PF1

29、，

30、PF2

31、，

32、F1F2

33、之间满足的关系式；③通过配方，利用整体的思想求出

34、PF1

35、·

36、PF2

37、的值；④利用公式S△PF1F2＝×

38、PF1

39、·

40、PF2

41、sin∠F1PF2求得面积．(2)方法二：利用公式S△PF1F2＝×

42、F1F2

43、×

44、yP

45、(yP为P点的纵坐标)求得面积．10特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件

46、

47、PF1

48、－

49、PF2

50、

51、＝2a的变形使用，特别是与

52、PF1

53、2＋

54、PF2

55、2，

56、PF1

57、·

58、PF2

59、间的关系．跟踪训练2　已知

60、双曲线的方程是－＝1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，点N是PF1的中点，求

61、ON

62、的大小(O为坐标原点)．　　命题角度2　与双曲线有关的轨迹问题例3　已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________．反思与感悟　定义法求双曲线方程的注意点(1)注意条件中是到定点距离之差，还是差的绝对值．(2)当差的绝对值为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题．(3)求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标是否都在所给的曲线上．跟踪训练3　在△ABC中，已知

63、A(－2，0)，B(2，0)，且三内角A，B，C满足2sinA＋sinC＝2sinB，求顶点C的轨迹方程．　1．到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是(　　)A．椭圆B．线段C．双曲线D．两条射线2．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左，右焦点，P是双曲线上的一点，且3

64、PF1

65、＝4

66、PF2

67、，则△PF1F2的面积等于(　　)A．4B．8C．24D．483．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是(　　)A.B．1或－2C．1或D．1104．若k∈R，方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则